华中科技大学 829 自动控制理论（含现控） 2023 年真题思维导图

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难度：中等偏难　10 题：信号流图、结构图求闭环传函与稳态误差、零度根轨迹与阻尼比约束、虚轴极点奈氏判据、由闭环幅频反求开环增益、超前与滞后与期望特性法校正、离散系统稳定与稳态误差、离散闭环脉冲传函、相平面与描述函数、能控标准型与状态反馈极点配置，综合性较强

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1一、信号流图求 C(s)/R(s)#

思路

• 由信号流图用梅森增益公式求闭环传递函数，注意三三互不接触回路

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由含多个回路的信号流图求系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：先把所有回路逐个编号，再找两两与三三互不接触的组合
• 关键一步：特征式为 1 减单回路加两两积减三三积
• 中间结果：分子为各前向通道与其余子式乘积之和
• 卡点：三三互不接触回路极易漏算或重复计数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由含多个回路的信号流图求系统传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、结构图求闭环传函、稳定 K 范围与稳态误差#

思路

• 先由阻尼比与自然频率写闭环传函，再用劳斯判据定 K，最后由误差传函求稳态误差

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由给定阻尼比与自然频率写出闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：把结构图化简成含自然频率与阻尼比的标准二阶形式
• 关键一步：标准分母为 s 平方加两倍阻尼比乘自然频率乘 s 加自然频率平方
• 中间结果：闭环传函分母定两个二阶参数，分子由前向通道决定
• 卡点：化为标准形式时未把最高次项系数归一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由给定阻尼比与自然频率写出闭环传递函数
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求使闭环系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程列劳斯表，要求首列全为正
• 关键一步：由末尾常数项大于零解出增益上界
• 中间结果：首列出现含增益的项，给出增益的上界
• 卡点：漏掉末项大于零的约束，只算首列

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求使闭环系统稳定的增益范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求多项组合输入下系统的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由误差传函乘输入拉氏式，再取 s 趋于零的极限
• 关键一步：用终值定理前必须先确认系统稳定
• 中间结果：误差由阶跃、斜坡与加速度三项分量叠加
• 卡点：未判稳就用终值定理，或漏掉某一输入分量

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求多项组合输入下系统的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、零度根轨迹与阻尼比约束下的参数范围#

思路

• 开环含正零点须画零度根轨迹，由虚轴交点定稳定范围，再由等阻尼线定参数范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 零点为正时改用零度相角条件绘制根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把题给传函整理成正反馈形式，判定为零度根轨迹
• 关键一步：实轴段判据改为两侧零极点个数之和为偶数
• 中间结果：复数分支是以开环零点为圆心的圆弧
• 卡点：仍按 180 度相角条件画，实轴段与走向全错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过零点为正时改用零度相角条件绘制根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则精确绘制根轨迹并求分离点

本卷实例

• 关键一步：先定实轴段、渐近线与分离点，再画复数分支
• 关键一步：分离点由增益对 s 导数为零的方程解出并筛选
• 中间结果：两个分离点分别对应无振荡与振荡分界
• 卡点：分离点方程的解不筛选，保留了不在根轨迹上的根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则精确绘制根轨迹并求分离点
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴交点求系统稳定的参数范围

本卷实例

• 关键一步：令特征方程中 s 换成 jω，实部虚部同时为零
• 关键一步：求得的临界参数就是稳定范围的边界
• 中间结果：二阶特征方程的稳定条件由劳斯表首列给出
• 卡点：只代一个频率就下结论，或未回到题给参数定义核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴交点求系统稳定的参数范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由等阻尼线求满足阻尼比下界的参数范围

本卷实例

• 关键一步：等阻尼线是从原点出发与负实轴成固定角度的射线
• 关键一步：把射线上的点代入特征方程解出对应参数
• 中间结果：阻尼比下界对应一条射线，两条边界给出参数开区间
• 卡点：把等阻尼线画成垂直线，或端点开闭取错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由等阻尼线求满足阻尼比下界的参数范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

4四、含虚轴极点系统的奈奎斯特图与判稳#

思路

• 开环含一对虚轴极点，补画无穷大圆弧后用奈氏判据判稳定性

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 含虚轴极点时补画曲线并用奈氏判据判稳

本卷实例

• 关键一步：先确定起止相角，再补画无穷大半径的圆弧
• 关键一步：由包围临界点圈数求闭环右半平面根数
• 中间结果：幅值在频率趋于一附近出现先减后增的畸变
• 卡点：忘记补画虚轴极点对应的无穷大圆弧

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过含虚轴极点时补画曲线并用奈氏判据判稳
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

5五、由闭环幅频曲线求开环增益与放大倍数#

思路

• 先由闭环幅频特性反求开环传函与增益，再按相角裕度要求求增益放大倍数

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 由闭环幅频特性曲线反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：由闭环幅频曲线读出谐振频率与谐振峰值
• 关键一步：用闭环与开环的关系式反解开环传函
• 中间结果：谐振峰值给出阻尼比，谐振频率给出自然频率
• 卡点：把闭环幅频曲线当成开环曲线读，环节类型判错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过由闭环幅频特性曲线反求开环传递函数
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由相角裕度要求求开环增益应放大的倍数

本卷实例

• 关键一步：先按给定相角裕度求出新的截止频率
• 关键一步：令该频率处幅值等于一，解出所需开环增益
• 中间结果：增益放大倍数等于新增益与原增益之比
• 卡点：相角裕度公式里 180 度基准弄错，解出频率偏差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由相角裕度要求求开环增益应放大的倍数
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

6六、超前、滞后与期望频率特性法校正设计#

思路

• 先由性能指标看能否用超前或滞后实现，不行则按中频段型号用期望特性法设计

超前校正 系统校正

本卷考法

• 判断能否用串联超前校正达到给定相角裕度与截止频率

本卷实例

• 关键一步：超前校正同时抬高相角裕度与截止频率
• 关键一步：由原系统在目标截止频率处的相角判断是否可行
• 中间结果：若所需超前角超过单级上限则不能实现
• 卡点：忽略截止频率变化带来的附加相角损失，补偿角算小

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过判断能否用串联超前校正达到给定相角裕度与截止频率
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 判断能否用串联滞后校正达到给定相角裕度与截止频率

本卷实例

• 关键一步：滞后校正压低截止频率并利用原系统自身相角
• 关键一步：由目标截止频率处的原系统相角判断是否可行
• 中间结果：目标截止频率处相角裕度过大时滞后法无法收敛
• 卡点：把滞后网络两个转折频率顺序写反，相角抵消

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过判断能否用串联滞后校正达到给定相角裕度与截止频率
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

期望特性法与综合法 系统校正

本卷考法

• 用期望频率特性法设计最简串联校正装置

本卷实例

• 关键一步：按静态误差系数定低频段高度，按中频段型号定转折频率
• 关键一步：由中频段宽度与相角裕度解出两个转折频率
• 中间结果：期望开环特性与原系统相除得校正装置
• 卡点：中频段取窄导致裕度不足，或结果不可物理实现

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 期望特性法直接按指标画出希望的开环对数幅频特性
• 用期望特性减去未校正特性得到校正装置特性
• 关键是确定低频段高度、中频段宽度与高频段斜率
• 中频段斜率一般取 -20 dB/dec 并保持足够宽度

步骤

• 按稳态要求确定低频段斜率与高度
• 按相角裕度要求确定中频段宽度与截止频率
• 按抗噪要求确定高频段斜率
• 相减求得校正装置并检验可实现性

通用考法

• 本卷考过用期望频率特性法设计最简串联校正装置
• 用期望特性法设计校正装置
• 说明中频段宽度与相角裕度的关系
• 由校正装置特性反写传递函数

常见易错

• 期望特性的中频段取窄导致裕度不足
• 相减后得到的特性不可物理实现却未检查

公式

7七、离散系统稳定 K 范围与稳态误差#

思路

• 先求含零阶保持器的脉冲传函，用朱利判据定 K，再由误差传函求稳态误差

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求离散系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征多项式列出朱利判据的三组不等式
• 关键一步：解三组不等式后取交集得稳定增益范围
• 中间结果：特征多项式常数项与一次项系数都含增益
• 卡点：把判据里的常数项边界取反，得到错误的增益范围

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求离散系统稳定的增益范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统在阶跃加斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由误差脉冲传函乘输入 z 变换后取 z 趋于一的极限
• 关键一步：用终值定理前先由上一问确认系统稳定
• 中间结果：误差由阶跃分量与斜坡分量两部分组成
• 卡点：直接用连续域的静态误差系数公式处理离散系统

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统在阶跃加斜坡输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

8八、离散系统闭环脉冲传递函数#

思路

• 按采样开关位置标注中间变量，联立方程组消去中间量求闭环脉冲传函

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求多环离散系统的闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：在采样开关处标注星号变量并列写各节点关系
• 关键一步：对含开关的支路单独做 z 变换，其余保持连续关系
• 中间结果：闭环传函分母含两个单环脉冲传函的乘积项
• 卡点：把无开关隔开的连续环节合并离散，结果错位

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求多环离散系统的闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

9九、非线性系统的相平面与描述函数分析#

思路

• 第一部分按继电特性分段画相轨迹，第二部分用描述函数法判系统稳定性

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 按分段线性方程绘制误差相轨迹并求振荡参数

本卷实例

• 关键一步：把方程化为相轨迹斜率形式，再分区域积分
• 关键一步：由各区边界点续接轨迹，闭合成极限环
• 中间结果：相轨迹围绕原点闭合，周期与幅值由轨迹读出
• 卡点：斜率公式分子分母写反，或区段衔接点取值弄错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过按分段线性方程绘制误差相轨迹并求振荡参数
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法判断等效线性化后系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：把非线性与线性部分串成等效开环，求其幅相曲线
• 关键一步：判断负倒描述函数曲线与幅相曲线有无交点
• 中间结果：理想继电特性的负倒描述函数落在负实轴上
• 卡点：两曲线无交点即稳定，勿误判为自振

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法判断等效线性化后系统的稳定性
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

10十、能控标准型、状态反馈极点配置与状态变量图#

思路

• 由微分方程写传函与能控标准型，比较系数定反馈增益，再画状态变量图

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由微分方程求传递函数并写能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：先由微分方程写传函，再把分子除以分母分出直通项
• 关键一步：按分母系数从低到高排在友矩阵末行
• 中间结果：输出方程同时含状态项与直通项
• 卡点：真分式化分时直通项处理错，或友矩阵符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由微分方程求传递函数并写能控标准型状态空间表达式
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈把三个闭环极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：期望特征多项式由三个给定极点相乘展开
• 关键一步：反馈代入后比较同次项系数求三个增益
• 中间结果：能控标准型下反馈增益与末行系数一一对应
• 卡点：能控标准型已保证能控，勿再误判为不能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈把三个闭环极点配置到指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式绘制状态变量图

本卷实例

• 关键一步：每个积分器输出取作一个状态变量，输入为其导数
• 关键一步：按状态方程与输出方程连接比例支路与求和点
• 中间结果：反馈增益接在积分器前，位置与矩阵系数对应
• 卡点：漏画某条前向支路或直通项，变量维数对不上

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式绘制状态变量图
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式