华中科技大学 829 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

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难度：中等偏难　10 道大题各 15 分；覆盖结构图传函、弹簧质量阻尼系统建模与响应辨识、根轨迹与主导极点、串联校正选型、正反馈奈氏判据、由渐近对数幅频反求传函、离散系统稳定与稳态误差、最少拍数字控制器、非线性相平面与自振、全维状态观测器设计。

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1一、结构图求传递函数#

思路

• 把结构图改画为信号流图，找出全部回路与前向通道，判断互不接触关系，用梅森增益公式求闭环传递函数。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图用梅森增益公式求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：由结构图逐节点画信号流图
• 关键一步：找出全部单回路并判断有无互不接触组合
• 中间结果：特征式由单回路增益与两两乘积组成
• 中间结果：前向通道的余子式需剔除接触回路
• 卡点：需回原卷核对图1各环节的连接与反馈极性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图用梅森增益公式求闭环传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、弹簧质量阻尼系统建模与参数辨识#

思路

• 由牛顿第二定律对质量块列力平衡方程，取拉氏变换得位移对力的传递函数；由阶跃响应的稳态值、超调量与峰值时间分别反求阻尼比、自然频率与三个物理参数。

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由弹簧质量阻尼系统列运动方程求传递函数

本卷实例

• 关键一步：对质量块作受力分析并按牛顿第二定律列力平衡方程
• 关键一步：取拉氏变换整理成位移对力的传递函数
• 中间结果：传递函数为二阶振荡环节与比例环节串联
• 中间结果：分母系数对应质量、阻尼与刚度
• 卡点：需回原卷核对图2(a)中质量块的受力方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过由弹簧质量阻尼系统列运动方程求传递函数
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由阶跃响应曲线反求二阶系统参数

本卷实例

• 关键一步：从响应曲线读出稳态值与峰值
• 关键一步：由超调量反求阻尼比，再由峰值时间反求自然频率
• 中间结果：比例环节不影响动态性能指标
• 中间结果：阻尼比乘自然频率与自然频率平方给出分母系数
• 卡点：需回原卷核对图2(b)响应曲线的读数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由阶跃响应曲线反求二阶系统参数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与峰值时间计算阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：把峰值与稳态值之差比稳态值得超调量
• 关键一步：由峰值时间公式解出阻尼振荡频率
• 中间结果：超调量只与阻尼比有关
• 中间结果：自然频率由峰值时间与阻尼比共同确定
• 卡点：峰值读数与稳态读数的相对误差会被放大

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由超调量与峰值时间计算阻尼比与自然频率
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

3三、根轨迹、稳定范围与主导极点法#

思路

• 由前向通路与反馈通路写开环传函，按法则画根轨迹并求渐近线、分离点与虚轴交点定稳定范围；再由调节时间与主导极点条件列相角与幅值方程求阻尼比。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则概略绘制闭环根轨迹图

本卷实例

• 关键一步：标出开环零点与极点并判断实轴上的根轨迹段
• 关键一步：求渐近线交点与夹角，再求分离点
• 中间结果：分支数等于开环极点数且全部指向无穷远
• 中间结果：分离点方程的解需按实轴段筛选
• 卡点：分离点方程高次项 OCR 有重复，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则概略绘制闭环根轨迹图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴交点确定稳定增益范围

本卷实例

• 关键一步：把 s 等于 jω 代入闭环特征方程
• 关键一步：令实部与虚部分别为零并联立求解
• 中间结果：临界增益处出现一对纯虚根
• 中间结果：稳定范围为临界增益以内的开区间
• 卡点：需先用劳斯表确认临界条件再写范围

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴交点确定稳定增益范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• 按主导极点法由调节时间估算阻尼比

本卷实例

• 关键一步：由二阶系统调节时间公式求出阻尼比乘自然频率
• 关键一步：把主导极点代入相角条件解出虚部
• 中间结果：调节时间取百分之二误差带对应系数四点四
• 中间结果：由幅值条件可反求对应增益
• 卡点：题中要求主导极点实部相差五倍，须校验近似是否成立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过按主导极点法由调节时间估算阻尼比
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

4四、串联校正装置选型与参数设计#

思路

• 由未校正开环传函画对数幅频特性，求原截止频率与相角裕度；分别判断超前与滞后校正能否达到目标，选定最简可行装置后按校正后截止频率与相角裕度要求设计参数。

超前校正 系统校正

本卷考法

• 判断串联超前校正能否满足相角裕度与截止频率要求

本卷实例

• 关键一步：求未校正系统在目标截止频率处的相角裕度
• 关键一步：由所需补偿角判断是否超过单级超前装置上限
• 中间结果：所需补偿角超出单级上限则不能用超前校正
• 中间结果：截止频率提高还会带来附加相角损失
• 卡点：逐年题干首段传函 OCR 残迹，需回原卷核对；已用宝典同段校出未校正传函

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过判断串联超前校正能否满足相角裕度与截止频率要求
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 判断串联滞后校正能否满足给定指标

本卷实例

• 关键一步：在目标截止频率处求未校正系统相角裕度
• 关键一步：比较该裕度与指标要求判断滞后法是否可行
• 中间结果：滞后校正压低截止频率并利用原系统自身相角
• 中间结果：目标频率处原系统相角不足则滞后法不可行
• 卡点：滞后网络转折频率须远低于新截止频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过判断串联滞后校正能否满足给定指标
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

滞后-超前校正 系统校正

本卷考法

• 选定最简可行装置并设计滞后超前校正参数

本卷实例

• 关键一步：按稳态精度定开环增益、按相角裕度定超前部分参数
• 关键一步：由幅值衰减量确定滞后部分参数
• 中间结果：滞后部分负责低频增益、超前部分负责中频裕度
• 中间结果：校正后截止频率需同时满足两项指标
• 卡点：两部分的转折频率分布重叠会互相削弱

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 兼顾稳态精度与动态性能，适合指标要求较高的场合
• 低频段用滞后部分提高增益，中高频段用超前部分提高裕度
• 设计时先确定超前部分，再确定滞后部分

步骤

• 按稳态精度要求确定开环增益
• 选择新的截止频率并计算超前部分参数
• 计算为把低频增益抬到要求值所需的滞后部分参数
• 合并写出校正装置并校验

通用考法

• 本卷考过选定最简可行装置并设计滞后超前校正参数
• 设计滞后-超前校正装置
• 说明为何单一校正无法满足指标
• 分析校正后系统的低频与高频特性

常见易错

• 先设计滞后部分导致截止频率反复调整
• 两部分的转折频率分布重叠，互相削弱

公式

5五、正反馈系统的奈奎斯特判据#

思路

• 正反馈时奈氏判据形式与负反馈不同，先把正反馈化为等效负反馈开环，将幅相曲线旋转一百八十度；再由开环右半平面极点数与曲线对临界点的包围圈数判断闭环右半平面极点数。

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判断正反馈闭环系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：把正反馈系统等效为负反馈并将幅相曲线相位旋转一百八十度
• 关键一步：数开环右半平面极点数与曲线包围临界点的净圈数
• 中间结果：等效开环幅值与原幅值相同、相位滞后一百八十度
• 中间结果：由 Z 等于 P 加 N 求闭环右半平面极点数
• 卡点：需回原卷核对图3(b)幅相曲线的走向与包围关系

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判断正反馈闭环系统的稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

6六、由渐近对数幅频特性求开环传函与裕度#

思路

• 由低频段斜率定型别、由低频段高度与转折频率定增益和转折频率，写出开环传函；再在幅值为一的截止频率处求相角裕度；最后用劳斯判据判断稳定性。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由渐近对数幅频特性曲线反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率确定型别
• 关键一步：由低频段高度与转折频率确定增益与各时间常数
• 中间结果：开环传函含积分环节、两个惯性环节与一个一阶微分环节
• 中间结果：低频段以负二十分贝每十倍频穿过给定点
• 卡点：需回原卷核对图4中低频高度与各转折频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由渐近对数幅频特性曲线反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由截止频率求相角裕度并判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：把截止频率代入相频表达式求相角裕度
• 关键一步：由相角裕度大于零判断最小相位系统稳定
• 中间结果：截止频率落在两个转折频率之间的频段
• 中间结果：相角裕度由一百八十度加相角给出
• 卡点：需回原卷核对图4截止频率所在的频率段

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由截止频率求相角裕度并判断稳定性
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 由闭环特征方程用劳斯判据验证稳定性

本卷实例

• 关键一步：由开环传函写闭环特征方程并列劳斯表
• 关键一步：检查首列元素是否全大于零
• 中间结果：特征方程为三阶且各项系数同号
• 中间结果：劳斯表首列全正故闭环稳定
• 卡点：劳斯表首列出现零时须用 ε 法处理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程用劳斯判据验证稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

7七、离散系统稳定范围与稳态误差#

思路

• 由含零阶保持器的开环脉冲传函写闭环特征方程，用朱利判据求稳定增益范围；再在稳定增益下由误差脉冲传函乘输入 z 变换取 z 趋于一的极限求阶跃加斜坡输入的稳态误差。

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求离散系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征多项式列出朱利判据条件
• 关键一步：解不等式组取交集得稳定增益范围
• 中间结果：特征多项式常数项与一次项均含增益
• 中间结果：三组条件分别给出增益上下界
• 卡点：需回原卷核对图5中采样开关与增益的位置

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求离散系统稳定的增益范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统在阶跃加斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：写出误差脉冲传函并乘输入 z 变换
• 关键一步：取 z 趋于一的极限用终值定理求稳态误差
• 中间结果：阶跃分量误差为零、斜坡分量误差由开环增益决定
• 中间结果：误差结果与采样周期有关
• 卡点：用终值定理前须先确认该增益下系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统在阶跃加斜坡输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

8八、最少拍数字控制器设计#

思路

• 由被控对象与零阶保持器求广义脉冲传函，按斜坡输入确定最少拍闭环脉冲传函，再用数字控制器公式求 D(z)，并检验可实现性与稳定性约束。

数字控制器与最少拍设计 离散控制系统

本卷考法

• 按典型输入设计最少拍数字控制器

本卷实例

• 关键一步：由广义脉冲传函与输入类型构造最少拍闭环脉冲传函
• 关键一步：代入控制器公式 D 等于 Φ 除以 G 乘 1 减 Φ
• 中间结果：最少拍闭环传函由输入类型对应的形式确定
• 中间结果：控制器需满足因果与稳定性约束
• 卡点：需回原卷核对图6中被控对象与保持器的结构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
• 设计需要满足可实现性与稳定性约束
• 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
• 最少拍设计通常导致很大的控制量，需加限制

步骤

• 确定输入类型及对应的误差传函形式
• 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
• 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
• 检验可实现性、稳定性与控制量大小

通用考法

• 本卷考过按典型输入设计最少拍数字控制器
• 设计最少拍数字控制器
• 比较不同输入类型下的最少拍数
• 分析最少拍系统存在的问题

常见易错

• 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
• 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件

公式

9九、非线性系统相平面与自振#

思路

• 由结构图写误差微分方程，按非线性特性分区写出相轨迹微分方程并分段积分；由相轨迹对称性与闭合性判断自振，再求振幅与周期并画输出曲线示意。

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 按分区线性方程绘制误差相轨迹

本卷实例

• 关键一步：由结构图化为误差的二阶微分方程并按非线性特性分区
• 关键一步：在每区把相轨迹斜率写成分段表达式后积分
• 中间结果：两区相轨迹关于误差导数轴对称
• 中间结果：轨迹围绕原点闭合成极限环
• 卡点：需回原卷核对图7中非线性环节的特性与结构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过按分区线性方程绘制误差相轨迹
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

非线性系统的稳定性与改善 非线性系统

本卷考法

• 由相轨迹判断自振并求振幅与周期

本卷实例

• 关键一步：由相轨迹闭合判断自振存在
• 关键一步：由轨迹与坐标轴交点读振幅、由四分之一周期求周期
• 中间结果：平衡状态在原点且轨迹围绕原点旋转
• 中间结果：输出由给定输入与误差之差得到
• 卡点：振幅与周期须回原卷核对相轨迹坐标刻度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 非线性系统只有局部稳定性概念，与初始条件有关
• 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
• 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
• 用描述函数或相平面结果指导参数选择

步骤

• 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
• 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
• 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
• 重新分析确认自振消除或幅值达标

通用考法

• 本卷考过由相轨迹判断自振并求振幅与周期
• 提出消除自振的工程措施
• 分析增益变化对极限环幅值的影响
• 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊

常见易错

• 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
• 把不稳定极限环误判为可观测的自振

10十、全维状态观测器设计#

思路

• 由给定状态转移矩阵的逆求系统矩阵 A，判能观性；设观测器增益阵，由误差动态矩阵 A 减 LC 的特征多项式与期望极点多项式比较系数求增益阵。

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由状态转移矩阵的逆在零时刻的导数求系统矩阵

本卷实例

• 关键一步：利用状态转移矩阵逆的导数在零时刻等于负 A
• 关键一步：把给定矩阵求导后在零时刻取值再取负号得 A
• 中间结果：由 Φ 逆的表达式可读出 A 的各元素
• 中间结果：B 与 C 由题给矩阵直接得到
• 卡点：题给动态方程在图中，需回原卷核对系数矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由状态转移矩阵的逆在零时刻的导数求系统矩阵
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能观性矩阵判断能否任意配置观测器极点

本卷实例

• 关键一步：由 C 与 CA 组成能观性矩阵并求秩
• 关键一步：秩等于系统阶数则系统完全能观
• 中间结果：能观性矩阵满秩
• 中间结果：能观性成立后才能任意配置观测器极点
• 卡点：能观性判据矩阵与能控性判据易混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能观性矩阵判断能否任意配置观测器极点
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 由期望观测器极点求全维状态观测器增益阵

本卷实例

• 关键一步：设观测器增益阵并写出误差动态矩阵
• 关键一步：由期望重极点写出期望特征多项式
• 中间结果：误差动态特征多项式与期望多项式次数相同
• 中间结果：比较系数得两个增益分量
• 卡点：期望极点为重根时特征多项式须按重根展开

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过由期望观测器极点求全维状态观测器增益阵
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式