1一、二阶系统参数与动态指标#
思路
- 由 K=4、T=1 写闭环传函化标准二阶形式求阻尼比与自然频率，代入超调量、调节时间、上升时间公式；再由给定阻尼比反求 K
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环传函化标准形式求阻尼比与自然频率
本卷实例
- 关键一步：先写闭环传函，再与标准二阶式比较一次项与常数项
- 中间结果：闭环标准式中一次项与常数项分别由时间常数和增益决定
- 卡点：阻尼比与自然频率的表达式要先约去公共因子再代入数值
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传函化标准形式求阻尼比与自然频率
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 求欠阻尼二阶系统的超调量、调节时间与上升时间
本卷实例
- 关键一步：先由阻尼比算阻尼角，再分别代入三个时间指标公式
- 中间结果：上升时间与阻尼角、自然频率都有关，峰值时间只与自然频率有关
- 卡点：调节时间按百分之五与百分之二误差带取不同系数，按题指定的取
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过求欠阻尼二阶系统的超调量、调节时间与上升时间
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
由性能指标要求反求参数
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由给定阻尼比反求开环增益
本卷实例
- 关键一步：把阻尼比与增益、时间常数的关系式反解
- 中间结果：阻尼比与增益乘时间常数的平方根成反比
- 卡点：时间常数不变时增益随阻尼比减小而增大
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
- 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
- 指标之间往往相互制约，需权衡取舍
步骤
- 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
- 在参数平面上画出各不等式的可行域
- 取交集并选取合适的参数值
- 回代验证全部指标是否满足
通用考法
- 本卷考过由给定阻尼比反求开环增益
- 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
- 求满足指标要求的参数取值范围
- 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
- 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
- 把 ξ 的可行域方向取反
公式