南京航空航天大学 820 控制原理 2015 年真题思维导图

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难度：中等偏难　十道大题依次考梅森公式求传函、按指标选反馈系数、劳斯判据全零行、参数根轨迹、相角裕度求参数、Bode渐近线反求传函与滞后校正、采样系统脉冲传函与稳定、描述函数法自振、状态空间建模与能控能观、状态反馈极点配置

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一梅森公式求C(s)/R(s)与E(s)/R(s)15 分#

思路

• 按图1结构图画出信号流图，找全前向通路与各回路，用梅森增益公式分别求出输出与误差的传递函数

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图转信号流图后用梅森公式求C(s)/R(s)
• 再由E(s)/R(s)等于1减C(s)/R(s)求误差传函

本卷实例

• 关键一步：先标出两条前向通路并判断回路间是否互不接触
• 关键一步：写出特征式Δ与各通路余子式Δk
• 中间结果：输出传函与误差传函共用同一分母Δ
• 中间结果：误差传函可由输出传函取1减得到
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图转信号流图后用梅森公式求C(s)/R(s)
• 本卷考过再由E(s)/R(s)等于1减C(s)/R(s)求误差传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

二反馈控制系统按指标选Kf与K215 分#

思路

• 由单位斜坡稳态误差、闭环阻尼比与调节时间三条指标列出关于Kf与K2的不等式组，取可行解后回代验证稳定性

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由单位斜坡输入稳态误差不超过0.35列第一个不等式

本卷实例

• 关键一步：先用终值定理把斜坡误差写成Kf与K2的表达式
• 中间结果：误差表达式只含K2与2/Kf两项
• 卡点：非单位反馈时误差定义需先统一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由单位斜坡输入稳态误差不超过0.35列第一个不等式
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环特征方程写出阻尼比与自然频率的表达式

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程整理成二阶标准形式再对比系数
• 中间结果：阻尼比与自然频率都由Kf、K2表示
• 卡点：化标准形前须把s平方项系数归一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程写出阻尼比与自然频率的表达式
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由调节时间ts不超过3秒给出第三个不等式

本卷实例

• 关键一步：按5%误差带取ts等于3除以阻尼比与自然频率之积
• 中间结果：调节时间约束与阻尼比约束联立成不等式组
• 卡点：三式取交集后再回代验证稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由调节时间ts不超过3秒给出第三个不等式
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

三劳斯稳定判据与全零行求全部特征根15 分#

思路

• 先用特征方程系数是否变号快速判定不稳定，再列劳斯表遇全零行时用辅助函数求导补行，最后分解因式求出全部特征根

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯表判断五阶系统稳定性并给出正实部根个数

本卷实例

• 关键一步：先看系数是否变号快速判定不稳定
• 中间结果：劳斯表出现全零行须取辅助函数求导补行
• 卡点：辅助函数与因式分解要对应检查

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯表判断五阶系统稳定性并给出正实部根个数
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

零极点分布与响应模态 传递函数

本卷考法

• 因式分解特征多项式求全部闭环特征根

本卷实例

• 关键一步：把高次多项式按对称项分组分解为低次因式之积
• 中间结果：分解结果同时含实根与纯虚根两类模态
• 卡点：每个因式都必须回代原方程验证

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
• 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
• 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
• 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量

步骤

• 求特征方程得到全部闭环极点
• 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
• 找出主导极点对，近似为低阶系统
• 结合零点判断各模态权重大小

通用考法

• 本卷考过因式分解特征多项式求全部闭环特征根
• 由极点分布写出响应的大致形式
• 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
• 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统

常见易错

• 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零

公式

四参数根轨迹与无超调及临界分离点15 分#

思路

• 先把含参数a的特征方程整理成根轨迹标准形式，按法则绘制根轨迹，再由分离点与实轴段判断无超调与阻尼震荡的K范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以a为参数把特征方程整理成标准根轨迹形式
• 求只有一个非零分离点时a的取值

本卷实例

• 关键一步：把s平方乘(s+a)中的参数a移到可变参数位置
• 中间结果：分离点方程整理后为一个二次方程
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以a为参数把特征方程整理成标准根轨迹形式
• 本卷考过求只有一个非零分离点时a的取值
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 由分离点方程确定临界K并判断解的取舍

本卷实例

• 关键一步：写出K关于s的显式表达式再对s求导
• 中间结果：求得的根须剔除不在根轨迹上的解
• 卡点：零点与极点须按a的不同取值重算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过由分离点方程确定临界K并判断解的取舍
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由实轴段与分离点求无超调及阻尼震荡的K范围

本卷实例

• 关键一步：用实轴段及分离点对应的K划分区间
• 中间结果：区间端点取自两个分离点对应的K值
• 卡点：区间开闭与端点归属容易写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由实轴段与分离点求无超调及阻尼震荡的K范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

五由相角裕度45度求开环参数a15 分#

思路

• 先写出开环频率特性的相角表达式，再令相角裕度为45度并配合幅值为1的条件，联立解出参数a与截止频率

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由相角裕度定义列出截止频率处的相角方程

本卷实例

• 关键一步：把相角裕度45度写成180度加开环相角
• 中间结果：截止频率处同时满足开环幅值为1
• 卡点：反正切值域与象限要判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由相角裕度定义列出截止频率处的相角方程
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 写出开环频率特性的幅频与相频表达式

本卷实例

• 关键一步：把积分环节的负90度单独提出再叠加反正切项
• 中间结果：幅值条件给出另一个关于a与截止频率的方程
• 卡点：两方程联立后须取正频率解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过写出开环频率特性的幅频与相频表达式
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

六由Bode渐近线求G0与滞后校正Gc15 分#

思路

• 由图3两条对数渐近幅频特性分频段读斜率变化，反求未校正G0与校正后G，相减得到校正装置，并计算校正后的相角裕度

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由低频段斜率与高度反求开环增益及积分环节个数
• 由各转折频率处的斜率变化确定惯性或微分环节

本卷实例

• 关键一步：先按斜率变化定位各转折频率与对应典型环节
• 中间结果：低频段延线高度与型别配合定开环增益
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由低频段斜率与高度反求开环增益及积分环节个数
• 本卷考过由各转折频率处的斜率变化确定惯性或微分环节
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 由校正前后传函相除得到校正装置Gc
• 说明该校正利用高频衰减提高相角裕度

本卷实例

• 关键一步：用校正后传函除以未校正传函消去公共环节
• 中间结果：校正装置由一个零点与一个极点构成
• 卡点：两个转折频率的先后顺序勿写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正前后传函相除得到校正装置Gc
• 本卷考过说明该校正利用高频衰减提高相角裕度
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 在渐近线上求校正后截止频率并计算相角裕度

本卷实例

• 关键一步：校正后按抓大放小列幅值条件求截止频率
• 中间结果：相角裕度由各环节相角累加求得
• 卡点：渐近线读数与分贝值的换算勿混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过在渐近线上求校正后截止频率并计算相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

七采样系统脉冲传函、稳定范围与稳态误差15 分#

思路

• 由图4写出开环与闭环脉冲传函，用判据求稳定K范围，再讨论采样周期T的影响并在T取1秒时核对稳态误差要求

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由图4求开环及闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先求连续部分与零阶保持器的z变换再串入回路
• 中间结果：闭环脉冲传函分母即离散特征方程
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由图4求开环及闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由离散特征方程用朱里判据求稳定K范围
• 讨论采样周期T增大对稳定性的影响

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程写成D(z)等于0后套朱里判据
• 中间结果：稳定K范围随采样周期T增大而收窄
• 卡点：z域稳定条件是模小于1而非实部小于0

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由离散特征方程用朱里判据求稳定K范围
• 本卷考过讨论采样周期T增大对稳定性的影响
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 由稳态误差小于0.1反求采样周期T的可调范围

本卷实例

• 关键一步：用终值定理求单位阶跃输入的离散稳态误差
• 中间结果：误差与K和T的组合有关须结合稳定范围
• 卡点：未判稳不能直接使用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过由稳态误差小于0.1反求采样周期T的可调范围
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

八描述函数法判断自振并求频率与振幅15 分#

思路

• 写出线性部分幅相曲线与负倒描述函数并画在同一复平面，由交点判断自振是否存在，再求自振频率与振幅

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由给定描述函数写负倒描述函数并判断自振是否存在

本卷实例

• 关键一步：把幅相曲线与负倒描述函数画在同一复平面找交点
• 中间结果：交点对应的频率与振幅即自振参数
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由给定描述函数写负倒描述函数并判断自振是否存在
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由描述函数表达式写出负倒描述函数并判断穿越方向

本卷实例

• 关键一步：先由相角条件定自振频率再回代幅值条件
• 中间结果：振幅由交点处的模值等式求出
• 卡点：负倒描述函数的实部虚部勿写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由描述函数表达式写出负倒描述函数并判断穿越方向
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

九由结构图列状态方程、判能控能观并求传函15 分#

思路

• 由两个一阶环节串接的结构图选x1与x2为状态变量列写状态方程与输出方程，再构造判别矩阵判能控能观并求传递函数

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由图6选x1与x2为状态变量列写状态方程与输出方程

本卷实例

• 关键一步：按每个积分器的输入输出关系逐条写一阶微分方程
• 中间结果：输出方程由末级反馈系数线性组合构成
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由图6选x1与x2为状态变量列写状态方程与输出方程
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能控与能观判别矩阵判断系统能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别算能控矩阵与能观矩阵的秩再下结论
• 中间结果：两个判别矩阵的秩都由输出系数决定
• 卡点：能控矩阵与能观矩阵的构造勿混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能控与能观判别矩阵判断系统能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：先求sI减A的逆再与输入输出矩阵相乘
• 中间结果：传递函数分子等于两个反馈系数的组合
• 卡点：注意直接传递项D是否为零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求系统传递函数
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

十状态反馈极点配置与前后性能对比15 分#

思路

• 由开环传函写出能控标准型，按期望极点构造期望特征多项式，对比系数求反馈增益阵，再比较设计前后的动态与稳态性能

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈把闭环极点配置到给定位置

本卷实例

• 关键一步：先写能控标准型再与期望特征多项式比较系数
• 中间结果：反馈增益由两组特征多项式系数差求出
• 卡点：极点配置前须先验证系统能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈把闭环极点配置到给定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由给定开环传函写出能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：按能控标准型直接写出A、B、C矩阵
• 中间结果：友矩阵末行取传函分母系数的相反数
• 卡点：缺项系数须补零占位

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由给定开环传函写出能控标准型状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 对比状态反馈设计前后系统动态与稳态性能的变化

本卷实例

• 关键一步：由新旧闭环极点位置比较阻尼比与自然频率
• 中间结果：设计后主导极点的实部与阻尼比均改变
• 卡点：稳态性能要单独由开环增益判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过对比状态反馈设计前后系统动态与稳态性能的变化
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式