浙江工业大学 828 自动控制理论（含现控） 2019 年真题思维导图

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难度：中等　9题覆盖电路、时域、频域、离散与状态空间，状态空间题占比明显提高；含图题集中在第1、3、6题，计算量适中

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1RLC电路传函与能控标准型#

思路

• 复阻抗法求传函，再由传函写能控标准型实现

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由RLC电路求输出电压对输入电压的传递函数

本卷实例

• 关键一步：用复阻抗表示电容与电感后列分压方程
• 中间结果：消去中间变量得到有理分式
• 卡点：电路连接方式以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过由RLC电路求输出电压对输入电压的传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写出状态能控标准型实现

本卷实例

• 关键一步：化为首一真分式后读取各阶系数
• 中间结果：按友矩阵形式填充系统矩阵与输入向量
• 卡点：友矩阵中系数符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写出状态能控标准型实现
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

2参数稳定域与极点实部约束#

思路

• 列闭环特征方程先用劳斯判稳，再作变量平移求极点左界

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据判断闭环系统稳定并求增益范围

本卷实例

• 关键一步：写出含开环增益的闭环特征多项式
• 中间结果：劳斯表首列全同号给出稳定区间
• 卡点：系数有缺项时未补零就列表

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据判断闭环系统稳定并求增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求使闭环极点位于给定直线左侧的增益范围

本卷实例

• 关键一步：令新变量等于原变量加一后代入特征方程
• 中间结果：对新变量特征方程套用劳斯判据
• 卡点：平移方向取反导致边界算错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求使闭环极点位于给定直线左侧的增益范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

3二阶系统参数与斜坡稳态误差#

思路

• 由结构图化闭环传函求特征参数，再按型别求斜坡误差并反求参数

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 求反馈校正参数使系统达到最佳二阶阻尼比

本卷实例

• 关键一步：把闭环传函整理成标准二阶形式
• 中间结果：令一次项系数比等于给定阻尼比
• 卡点：校正结构以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过求反馈校正参数使系统达到最佳二阶阻尼比
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位斜坡输入下系统的稳态误差终值

本卷实例

• 关键一步：先由开环积分环节个数确定系统型别
• 中间结果：斜坡误差终值等于输入幅度除以速度误差系数
• 卡点：未判稳就直接使用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位斜坡输入下系统的稳态误差终值
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比与稳态误差双指标反求校正参数与增益

本卷实例

• 关键一步：把两个指标分别写成关于参数的方程
• 中间结果：联立两个方程解出校正参数与开环增益
• 卡点：只满足单项指标未做交叉校验

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由阻尼比与稳态误差双指标反求校正参数与增益
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

4闭环频率特性与幅值条件#

思路

• 由闭环幅频条件反求阻尼比，再解输出幅值大于输入的频率范围

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由闭环传递函数求幅频与相频表达式

本卷实例

• 关键一步：把虚频率变量代入闭环传函后取模
• 中间结果：稳态输出幅值为输入幅值乘幅频值
• 卡点：分母复数取模时漏掉平方项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由闭环传递函数求幅频与相频表达式
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 由闭环幅频特性确定输出幅值大于输入幅值的频率区间

本卷实例

• 关键一步：列出闭环幅频值大于一的不等式
• 中间结果：解不等式得到频率上下界
• 卡点：边界是否取等号判断错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过由闭环幅频特性确定输出幅值大于输入幅值的频率区间
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

5非最小相位系统奈氏判稳#

思路

• 画含右半平面零点的奈氏曲线，按开环右半平面极点数分情况判稳

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判别三种增益取值下闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：令虚频率变量后写开环幅相表达式
• 中间结果：由包围圈数与开环右半平面极点数求闭环极点数
• 卡点：没有先数开环右半平面极点数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判别三种增益取值下闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 判断分子含右半平面零点的非最小相位系统

本卷实例

• 关键一步：由分子一次项符号判定零点位于右半平面
• 中间结果：非最小相位系统的相位随频率变化更剧烈
• 卡点：把右半平面零点与右半平面极点混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过判断分子含右半平面零点的非最小相位系统
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

6采样系统脉冲传函与差分方程#

思路

• 按采样开关位置求开环与闭环脉冲传函，再交叉相乘写差分方程

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求采样系统的开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把连续部分及其保持器一并作 z 变换
• 中间结果：闭环脉冲传函由前向通路比上一加开环回路
• 卡点：采样开关位置以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求采样系统的开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

连续系统的离散化 离散控制系统

本卷考法

• 由脉冲传递函数写出输入输出差分方程

本卷实例

• 关键一步：把 z 的有理分式两边交叉相乘
• 中间结果：z 的负幂对应于延迟相应拍数
• 卡点：漏掉采样周期这个参数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
• 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
• 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变

步骤

• 求连续系统的状态转移矩阵
• 把采样周期代入得到离散状态矩阵
• 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
• 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应

通用考法

• 本卷考过由脉冲传递函数写出输入输出差分方程
• 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
• 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
• 计算采样点上的状态与输出序列

常见易错

• 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
• 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵

公式

7由自由运动反求状态转移矩阵与系统矩阵#

思路

• 由两组自由运动与初值构造矩阵指数，再在零时刻求导得系统矩阵

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由初始状态与自由运动求状态转移矩阵和系统矩阵

本卷实例

• 关键一步：把两组响应按初值排列成矩阵方程
• 中间结果：矩阵指数等于运动矩阵乘初值矩阵的逆
• 卡点：求逆前未检查初值矩阵是否可逆

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由初始状态与自由运动求状态转移矩阵和系统矩阵
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

8能控状态的线性组合#

思路

• 由能控性定义写出状态可达积分式，再证线性组合仍可达

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 证明两个能控状态的任意线性组合仍为能控状态

本卷实例

• 关键一步：写出状态由控制输入经转移矩阵表达的积分式
• 中间结果：对两个积分式取线性组合并合并同类项
• 卡点：把状态能控与系统能控两个概念混同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过证明两个能控状态的任意线性组合仍为能控状态
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

9状态反馈极点配置与能观性#

思路

• 写能控标准型配置极点求反馈增益，再构造能观阵判能观

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写能控标准型以用于极点配置

本卷实例

• 关键一步：按能控标准型读系数写出系统矩阵
• 中间结果：得到极点配置所需的实现形式
• 卡点：友矩阵系数符号与传函系数对不上

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写能控标准型以用于极点配置
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈增益将闭环极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：写出期望极点对应的特征多项式
• 中间结果：比较两特征多项式同次幂系数求增益
• 卡点：未验证能控性就直接设计反馈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈增益将闭环极点配置到指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断闭环状态空间模型是否状态完全能观

本卷实例

• 关键一步：构造能观性判别矩阵并求秩
• 中间结果：判别矩阵满秩则系统完全能观
• 卡点：能观矩阵的构造方向写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断闭环状态空间模型是否状态完全能观
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式