东北电力大学 841 自动控制原理 2025 年真题思维导图

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难度：中等偏难　卷首印 9 题 150 分；正文实见 9 个编号题块与题 9 后一段无编号的 3×3 状态空间题，按见题即收口径共 10 个题块；考点覆盖网络建模、根轨迹（含出射角）、奈氏判据、滞后校正原理、离散响应计算与状态空间综合。

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1无源网络建模#

思路

• 先求复阻抗形式的传函，再交叉相乘还原成时域微分方程

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 求无源网络的 Uc(s)/Ur(s)

本卷实例

• 关键一步：用复阻抗表示电阻与电容，按分压或节点电流列方程
• 中间结果：复阻抗形式的传函交叉相乘即可还原时域微分方程
• 卡点：无源网络图为原卷插图，元件串并联关系需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过求无源网络的 Uc(s)/Ur(s)
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 本卷考过电容复阻抗误写成 Cs
• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由传函写出以 Ur(t) 为输入、Uc(t) 为输出的微分方程表达式

本卷实例

• 关键一步：把 Uc(s)/Ur(s)=N(s)/D(s) 交叉相乘
• 关键一步：得 D(s)Uc(s)=N(s)Ur(s)，再逐项还原时域
• 关键一步：再把 s^k 还原成 d^k/dt^k，即得时域微分方程
• 中间结果：设 Uc(s)/Ur(s)=N(s)/D(s)，交叉相乘得 D(s)Uc=N(s)Ur
• 中间结果：s^k 逐项换成 d^k/dt^k，即得时域微分方程
• 卡点：只给传函不给微分方程；题目两问都要，第二问常被漏掉

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由传函写出以 Ur(t) 为输入、Uc(t) 为输出的微分方程表达式
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

2结构图求传函与误差传函#

思路

• 同一结构图要求两个传递函数：C(s)/R(s) 与 E(s)/R(s)，后者是误差传递函数

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由动态结构图求 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：按比较点列写误差关系，沿前向通道写到输出
• 中间结果：各支路增益相乘、回路相加后整理成输出比输入的型式
• 卡点：结构图未读，交叉反馈支路的走向需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由动态结构图求 C(s)/R(s)
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 本卷考过把负反馈的分母写成 1-GH
• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 求误差传递函数 E(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：误差取在比较点：E(s)=R(s)−B(s)=R(s)−C(s)H(s)
• 关键一步：整理后 E/R=1/(1+GH)，单位反馈时 H=1 更简单
• 关键一步：也可用 E/R = 1 − C/R 的关系直接推
• 中间结果：误差取自比较点，E(s)=R(s)−C(s)H(s)
• 中间结果：先求出 C(s)/R(s)，再用 E/R 与 C/R 的关系整理
• 卡点：把误差定义取错位置（输入端 vs 反馈端），结果差一个 H(s)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过求误差传递函数 E(s)/R(s)
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

3二阶系统指标与谐振#

思路

• G=4/(s(s+1)) 求闭环标准二阶参数，再算阻尼状态、阶跃响应、调节时间；最后一问由谐振条件求 ωr 与 Mr

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 确定阻尼比 ξ、无阻尼自然振荡频率 ωn 与阻尼状态

本卷实例

• 关键一步：先由开环传函写出闭环传函，再化成标准二阶形式
• 中间结果：由开环增益与时间常数读出自然频率与阻尼比的表达式
• 卡点：阻尼状态按阻尼比与 1 的大小关系分欠阻尼、临界与过阻尼

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过确定阻尼比 ξ、无阻尼自然振荡频率 ωn 与阻尼状态
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

一阶系统的单位阶跃响应 时域响应与动态性能

本卷考法

• 写出系统的单位阶跃响应表达式

本卷实例

• 关键一步：先判定阻尼状态，再套对应情况的单位阶跃响应公式
• 中间结果：响应由稳态分量与衰减振荡分量叠加而成
• 卡点：未判阻尼状态就直接套欠阻尼公式是常见失分点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 一阶系统只有一个时间常数 T，响应单调无振荡
• 经过一个 T 达到稳态值的 63.2%，3T 达到 95%，4T 达到 98%
• 调节时间按误差带取 3T（5%）或 4T（2%）

步骤

• 把传递函数化为标准形式 1/(Ts+1)
• 读出时间常数 T
• 按误差带要求给出调节时间

通用考法

• 本卷考过写出系统的单位阶跃响应表达式
• 求一阶系统的调节时间与上升时间
• 由响应曲线求时间常数
• 比较不同时间常数下响应快慢

常见易错

• 本卷考过把 63.2% 对应的时刻记成 50% 对应的时刻
• 把 63.2% 对应的时刻记成 50% 对应的时刻
• 增益 K 不为 1 时仍直接读稳态值

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 计算调节时间 ts（误差带 ±2%）

本卷实例

• 关键一步：把已求出的阻尼比与自然频率代入 2% 误差带调节时间公式
• 中间结果：欠阻尼系统可用四倍时间常数估算调节时间
• 卡点：误差带不同系数不同，题目指定 2% 就按 2% 取系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过计算调节时间 ts（误差带 ±2%）
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过用 5% 误差带的系数 3.5
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 求正弦输入下稳态输出幅值最大时的 ω 及最大幅值

本卷实例

• 关键一步：稳态输出幅值最大即发生谐振，谐振频率 ωr=ωn√(1−2ξ²)
• 关键一步：最大幅值（谐振峰值）Mr=1/(2ξ√(1−ξ²))，对应输出幅值 = 输入幅值 × Mr
• 中间结果：把本题 ξ、ωn 代入 ωr=ωn√(1−2ξ²) 即可
• 中间结果：再把同一组 ξ 代入 Mr=1/(2ξ√(1−ξ²))
• 卡点：题目要求「角度只需写表达式、开方化为最简」，不要真的算小数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过求正弦输入下稳态输出幅值最大时的 ω 及最大幅值
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

4稳定性条件与稳态误差#

思路

• 结构图含可变参数 K 与 a；第 1 问用劳斯判据列条件，第 2 问输入与扰动同时作用时求总稳态误差

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求 K、a 使闭环系统稳定的条件

本卷实例

• 关键一步：先写含 K 与 a 的闭环特征方程并按降幂排列
• 中间结果：按劳斯表首列各元素同号列出关于 K、a 的不等式组
• 卡点：a 在反馈通道中，其符号与取值范围需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求 K、a 使闭环系统稳定的条件
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 本卷考过只列出部分首列元素的不等式
• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• r(t)=t·1(t)、n(t)=1(t) 同时作用时求总稳态误差 ess

本卷实例

• 关键一步：线性系统按叠加原理：输入引起的误差 + 扰动引起的误差
• 关键一步：输入是斜坡、扰动是阶跃，两者分别套自己型别下的误差公式，最后相加
• 中间结果：总误差按叠加拆成输入引起的误差与扰动引起的误差两项
• 中间结果：斜坡输入误差与型别和开环增益有关；阶跃扰动误差另按扰动点前后传函算
• 卡点：只算输入误差或只算扰动误差，漏掉另一半

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过r(t)=t·1(t)、n(t)=1(t) 同时作用时求总稳态误差 ess
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

5复极点根轨迹与稳定域#

思路

• G=k/((s²+2s+2)(s²+2s+5))，两组复极点、无零点；要算渐近线、分离点、虚轴交点与出射角

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制 k 从 0→∞ 的闭环根轨迹，写出开环零极点并计算渐近线、分离点、虚轴交点

本卷实例

• 关键一步：开环极点是两组共轭复极点的并集，无零点 → n=4、m=0、渐近线 4 条
• 关键一步：渐近线交点 σa=Σp/n
• 关键一步：夹角 (2k+1)180°/4 = 45°、135°、225°、315°
• 中间结果：s²+2s+2 的根 −1±j；s²+2s+5 的根 −1±2j
• 中间结果：Σp = (−1−1−1−1) = −4 → σa = −1
• 卡点：复数极点的实部和要全部算进去，漏一个交点就错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制 k 从 0→∞ 的闭环根轨迹，写出开环零极点并计算渐近线、分离点、虚轴交点
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

出射角与入射角 根轨迹法

本卷考法

• 计算复数极点的出射角

本卷实例

• 关键一步：出射角公式 θp=180°+Σ∠(p−zi)−Σ∠(p−pj)
• 关键一步：本题无零点，故只减其余三个极点贡献的相角
• 中间结果：无零点时出射角只由其余三个极点到该极点的向量相角决定
• 中间结果：两组共轭极点要逐个计算向量相角，再代入出射角公式
• 卡点：累加相角时把该极点自身的相角也算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 出射角是根轨迹离开开环极点的方向
• 入射角是根轨迹进入开环零点的方向
• 计算时需代入相角条件并逐项累加各零极点贡献的相角
• 共轭复数极点的出射角互为相反数

步骤

• 取待求极点（或零点）为参考点
• 写出相角条件并代入该点
• 把其余零极点的相角移到等式右边累加
• 求反正切得到出射角或入射角

通用考法

• 本卷考过计算复数极点的出射角
• 求复数极点的出射角
• 根据出射角画出根轨迹起始方向
• 由入射角确定根轨迹终止方向

常见易错

• 累加相角时把该极点自身的相角也算进去
• 忘记判断象限导致角度差 180°

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 确定分离点及其对应的 k 值

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程按重根条件列分离点方程
• 中间结果：分离点方程由两组共轭复极点的位置关系给出
• 卡点：复极点系统的分离点可能在实轴外，解出后要检验是否为实根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过确定分离点及其对应的 k 值
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 确定系统稳定时 k 的取值范围

本卷实例

• 关键一步：由出射角与渐近线定根轨迹走向，再令 s 等于 jω 求虚轴交点
• 中间结果：把虚轴交点角频率代回幅值条件得到临界增益
• 卡点：两对复极点的出射角方向决定稳定段，求解后需逐段复核

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过确定系统稳定时 k 的取值范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个 ω 漏掉另一组交点
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

6奈氏判据判稳#

思路

• 由方框图先画开环 Nyquist 曲线，再用 Z=N+P 判稳并指出右半平面闭环极点数

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 绘制开环 Nyquist 曲线并用判据判断闭环稳定性、指出右半平面闭环极点数

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点得 P；有积分环节时补画无穷大半径圆弧
• 关键一步：数曲线绕 (−1,j0) 的净包围圈数 N，代 Z=N+P 得右半平面闭环极点数
• 中间结果：Z 就是题目要的「右半平面的闭环极点数」，算出 Z 直接回答
• 卡点：忘记数 P 或补圆弧；包围圈数的正负号记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过绘制开环 Nyquist 曲线并用判据判断闭环稳定性、指出右半平面闭环极点数
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

7滞后校正装置与校正原理#

思路

• 给校正前后的开环传函，先相除得 Gc(s)，再算原系统 ωc、画 Gc 的 Bode、判别类型并说明原理

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 写出校正装置 Gc(s)、判断是超前还是滞后并说明一般加在哪个频段及校正原理

本卷实例

• 关键一步：Gc=G/G₀=1000(2s+1)(200s+1)/(1000(2s+1))
• 关键一步：化简为 (2s+1)/(200s+1)：分子转折 0.5、分母转折 0.005
• 关键一步：判据：把 Gc 写成 (τ₁s+1)/(τ₂s+1)
• 关键一步：分子转折频率更低（τ₁>τ₂）为超前，反之滞后
• 关键一步：本题 τ₁=2、τ₂=200 → τ₁<τ₂ → 滞后校正，加在低频到中频段
• 中间结果：滞后校正原理：高频段幅值衰减把截止频率左移
• 中间结果：从而在中频段获得足够相角裕度，并保留低频高增益
• 卡点：只看传递函数形式不比较两个转折频率大小，超前/滞后会判反
• 卡点：把「加在哪个频段」答成「高频段」

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过写出校正装置 Gc(s)、判断是超前还是滞后并说明一般加在哪个频段及校正原理
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 计算原系统 G₀(s) 的剪切频率（截止频率）

本卷实例

• 关键一步：由各环节转折频率写出渐近幅频表达式，令其为零分贝求剪切频率
• 中间结果：低频段斜率由积分环节个数决定，分母两个小时间常数可先忽略
• 卡点：抓大放小后要检验所得频率是否确实落在假设的频段内

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过计算原系统 G₀(s) 的剪切频率（截止频率）
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 绘制校正装置 Gc(s) 的 Bode 图并标出关键信息

本卷实例

• 关键一步：由校正前后开环传函相除得到校正装置传函
• 中间结果：校正装置含一个零点与一个极点，两转折频率相差两个数量级
• 卡点：校正装置波特图的转折频率与斜率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过绘制校正装置 Gc(s) 的 Bode 图并标出关键信息
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过ωc 与 ωg 两个频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

8离散系统的闭环传函与阶跃响应#

思路

• T=0.1s、G₁(s)=10/(s−2)，求闭环脉冲传函与 c(kT) 的前 4 个点

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求系统的闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先对 G₁(s) 做 z 变换：Z[10/(s−2)]=10z/(z−e^{0.2})
• 关键一步：再按结构图中的采样开关位置写闭环脉冲传函
• 中间结果：e^{0.2}≈1.221（题目已给）
• 卡点：把 G₁(s) 的 z 变换指数写成 e^{−0.2}
• 卡点：该极点为正 +2，对应 e^{+0.2}，不要写负号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求系统的闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 求单位阶跃响应 c(kT) 在 k=0,1,2,3 的值

本卷实例

• 关键一步：C(z)=Φ(z)·z/(z−1)，用长除法或部分分式做 z 反变换得离散序列
• 关键一步：也可用差分方程递推，更省事
• 中间结果：阶跃输入的 z 变换是 z/(z−1)，乘闭环脉冲传函得 C(z)
• 中间结果：用长除法取前四项，即对应 k=0、1、2、3 的 c(kT)
• 卡点：把 z 反变换结果中的 e^{aT} 写成 e^{a}，忘记乘采样周期

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过求单位阶跃响应 c(kT) 在 k=0,1,2,3 的值
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

9状态变量图与状态转移矩阵#

思路

• 由给定 2×2 状态方程画状态变量图；代入 k、f、m 后求状态转移矩阵 e^{At}

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由状态方程画状态变量图（积分器与反馈支路）

本卷实例

• 关键一步：把每个状态变量取在一个积分器输出端，按矩阵元素连接反馈与输入支路
• 中间结果：状态变量图的积分器条数等于状态维数 2，支路系数逐项对应 A、B、C
• 卡点：本题只给状态方程与输出方程，画图时需自设积分器编号并保持与矩阵一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由状态方程画状态变量图（积分器与反馈支路）
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 本卷考过支路系数与 A、B、C 矩阵元素不对应
• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 代入 k、f、m 后求状态转移矩阵 e^{At}

本卷实例

• 关键一步：先由 k、f、m 写出 A，再计算 (sI-A)^{-1} 并逐项取拉氏反变换
• 中间结果：A 中两个自由参数位置由 k/m 与 f/m 代入后变为具体数，便于求逆
• 卡点：状态转移矩阵是 2×2 矩阵函数，不能只写其中一个元素

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过代入 k、f、m 后求状态转移矩阵 e^{At}
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 本卷考过矩阵参数代入后忘记先把 A 化为具体数值矩阵
• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

无编号（接题9后）状态方程能控性与传递函数（源文无编号）#

思路

• 3×3 状态空间题：先构造能控性矩阵判能控性；再由 C(sI-A)^{-1}B+D 求 Y(s)/U(s)

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断 3×3 系统的能控性

本卷实例

• 关键一步：按 [B AB A²B] 构造能控性矩阵，并求秩与状态维数 3 比较
• 中间结果：A、B 直接取题给矩阵，A²B 是补满矩阵的最后一列
• 卡点：题目只问能控性，不要把能观性矩阵一并当作判据

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断 3×3 系统的能控性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算 B 与 AB 就下结论，未算到 A²B
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 求含直接传递项 D 的传递函数 Y(s)/U(s)

本卷实例

• 关键一步：按 C(sI-A)^{-1}B+D 计算，最后单独叠加 D
• 中间结果：题给输出方程含 +u，说明 D=1，传递函数分子分母需保留该直通项
• 卡点：3×3 矩阵求逆后先左乘 C、再右乘 B，最后加 D

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过求含直接传递项 D 的传递函数 Y(s)/U(s)
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 本卷考过漏掉 D=1 对应的直接传递项
• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式