四川大学 871 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图

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难度：中等偏难　7 题 150 分，每题分值重；结构图三个传函、四重极点根轨迹、二阶系统参数与稳态误差、状态空间建模与观测器、由对数幅频反求校正装置、离散系统稳定性与误差、非线性相平面，几乎每题都带 3 到 4 个小问，答完一卷要写很多

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1一、多输入系统的三个传递函数#

思路

• 同一张结构图分别求 C/R、C/N₂、C/N₃

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求多输入系统中各输入到输出的传递函数

本卷实例

• 关键一步：求谁对谁就把其余输入全部置零，然后只沿那一条通道化简结构图
• 关键一步：三个传函的分母完全相同，都是同一个特征式，区别只在分子
• 关键一步：扰动作用点不同时，从扰动点到输出经过的环节不同，分子里含的回路项也不同
• 中间结果：先把分母算出来，再分别求三个分子，可以省下两次化简的力气，也便于互相校验
• 卡点：没有把其余输入置零；或把扰动作用点在比较点前还是后搞错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求多输入系统中各输入到输出的传递函数
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

2二、四重极点的根轨迹与稳定域#

思路

• 开环为两个二重极点、无零点，画根轨迹并求稳定增益范围

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制有重极点且无零点系统的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：四个开环极点两两重合，重极点要按个数计
• 关键一步：实轴上的根轨迹段要按「右侧零极点个数为奇数」重新判断
• 关键一步：极点数减零点数为四条，渐近线四条，交点为极点之和除以四，夹角为四十五度的奇数倍
• 关键一步：重极点处的分离点要单独求，本题会出现多个分支同时离开实轴的情形
• 中间结果：渐近线交点位于四个极点的算术平均处，本题是负二点五；四条分支最终沿四个方向趋向无穷远
• 卡点：把二重极点只算一个极点，导致分支数与渐近线条数都错；或忽略重极点附近的分离点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制有重极点且无零点系统的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求出系统稳定时的增益范围

本卷实例

• 关键一步：把开环分母展开成四次多项式，与增益项相加得到闭环特征方程
• 关键一步：逐项列劳斯表，首列各元素必须同号
• 关键一步：本题首列的一个元素是常数减增益的一次式，另一个是常数加增益，两者给出上下界
• 中间结果：下界由常数项大于零给出，本题是负值，由于增益取正所以不起作用；上界由首列中间项为零确定
• 卡点：展开四次多项式时漏掉交叉相乘的项；或只写一个不等式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求出系统稳定时的增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

3三、二阶系统参数与稳态误差#

思路

• 结构图含两个待定参数，给定增益与阻尼比、稳态误差的不同组合反求参数

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由结构图求自然频率与阻尼比

本卷实例

• 关键一步：先把闭环特征方程整理成标准二阶形式，一次项系数的一半就是阻尼比与自然频率的乘积
• 关键一步：自然频率的平方等于常数项，本题由环路增益与反馈支路共同决定
• 关键一步：参数取零时相当于某条反馈支路断开，阻尼比会明显变小甚至为零
• 中间结果：阻尼比为零时系统等幅振荡，此时稳态误差的概念要重新讨论，不能直接套终值定理
• 卡点：把开环增益当自然频率的平方；或化简结构图时漏掉反馈支路上的参数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由结构图求自然频率与阻尼比
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由稳态误差要求反求系统参数
• 建立阻尼比与稳态误差的联立方程

本卷实例

• 关键一步：斜坡输入下的稳态误差由速度误差系数决定，先写出速度误差系数的表达式
• 关键一步：阻尼比的表达式里含同样的参数组合，两个关系式联立即可解出增益与反馈参数
• 关键一步：解完要回代检查阻尼比是否满足零到一之间，否则系统已经过阻尼或发散
• 中间结果：本题阻尼比与稳态误差都只通过「一比上速度误差系数」的形式与参数挂钩，所以两者可以互相推出
• 中间结果：联立时把含参数的组合当成一个整体可以少解一个未知量
• 卡点：稳态误差应是斜坡斜率与速度误差系数之比，不是速度误差系数的倒数
• 卡点：或忘记校验参数取值是否使系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由稳态误差要求反求系统参数
• 本卷考过建立阻尼比与稳态误差的联立方程
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

4四、状态空间建模、观测器与极点配置#

思路

• 由结构图写状态空间表达式、讨论稳定性与观测器存在条件，再配置极点求反馈矩阵

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由结构图写出状态空间表达式并讨论参数对稳定性的影响

本卷实例

• 关键一步：图中每个积分器对应一个状态变量，积分器前的求和点直接写出该状态的一阶微分方程
• 关键一步：把所有积分器的输入写成状态与输入的线性组合，整理成矩阵形式
• 关键一步：稳定性由系统矩阵的特征方程决定，各部分系数都大于零或按劳斯判据列不等式即可解出参数条件
• 中间结果：含参数的项通常出现在特征方程的某一次项或常数项上，令该项大于零即得参数下界
• 卡点：漏掉某条前馈支路导致输出方程少一项；或把参数条件只写成一个不等式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由结构图写出状态空间表达式并讨论参数对稳定性的影响
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 判断在给定参数下能否配置全维状态观测器

本卷实例

• 关键一步：全维观测器存在的条件是系统完全能观，也就是能观性矩阵满秩
• 关键一步：把能观性矩阵的行列式写出来，本题的行列式含参数，令其不为零得到能观的参数条件
• 关键一步：设计观测器时把误差动态的特征值配置到比系统极点更快的位置
• 中间结果：能观性矩阵行列式为零的参数值就是传感器布置失效的临界点
• 中间结果：这类题往往要求给出不等式形式的条件
• 卡点：只用输出矩阵是否为零判断能观性；或忘记观测器极点应比系统极点更快

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过判断在给定参数下能否配置全维状态观测器
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 用状态反馈把闭环极点配置到指定位置并求出反馈增益矩阵

本卷实例

• 关键一步：先验证系统能控，再把闭环特征多项式按含增益的形式展开
• 关键一步：由期望极点写出期望特征多项式，本题两个期望极点都是负实数且重合，展开后是完全平方形式
• 关键一步：逐项比较系数解出反馈增益，注意反馈增益作用在输入矩阵所示的那些状态上
• 中间结果：二阶系统两个增益由一次项与常数项各给出一个方程，解出的增益可用闭环特征根代回验算
• 卡点：把反馈增益矩阵的维数写错；或行列式展开时符号弄错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过用状态反馈把闭环极点配置到指定位置并求出反馈增益矩阵
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

5五、由对数幅频特性反求校正装置#

思路

• 先由原系统幅频曲线求开环传函，再由校正后曲线低频段抬高、高频段不变反求校正装置并分析效果

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由开环对数幅频特性曲线求原系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率确定积分环节个数，低频段高度或延长线与零分贝线交点确定开环增益
• 关键一步：各转折频率处斜率的变化量确定环节类型与时间常数
• 关键一步：写出的传函代回几个转折频率处验算幅值，可以立刻发现读错的地方
• 中间结果：题目只画曲线不给数据时，转折频率处的幅值标注往往是唯一的定量依据，要先把它找出来
• 卡点：低频段高度忘记折算型别；或把高频段的斜率变化数漏算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环对数幅频特性曲线求原系统传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 由校正前后幅频特性的差异反求串联校正装置的传递函数

本卷实例

• 关键一步：校正前后高频段完全相同、只有低频段抬高，说明校正装置在中高频段增益接近一、低频段增益大于一
• 关键一步：校正装置的传函等于校正后传函除以校正前传函，转折频率由两条曲线的分界点读出
• 关键一步：把分界点的频率与抬高量代入一阶环节的形式即可确定两个时间常数
• 中间结果：本题低频段抬高而高频段不变，是典型的滞后校正特征；滞后网络的两个转折频率都配置在低频段
• 卡点：把校正前后传函相除的顺序搞反；或把低频段抬高量直接当成增益比而忘记换算成分贝

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正前后幅频特性的差异反求串联校正装置的传递函数
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 说明串联校正的方式与实际效果

本卷实例

• 关键一步：滞后校正的主要效果是提高低频段增益从而减小稳态误差，同时对中高频段的幅相特性影响很小
• 关键一步：代价是引入相位滞后，若转折频率离截止频率太近会吃掉相角裕度，所以要远离截止频率
• 关键一步：与超前校正相比，滞后校正不能提高截止频率，因此对快速性没有改善甚至略有下降
• 中间结果：校正后静态性能改善、稳态精度提高，而动态性能基本不变，这正是滞后校正的适用场合
• 卡点：说滞后校正能提高快速性；或忽略相位滞后带来的裕度损失

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过说明串联校正的方式与实际效果
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 写出校正后系统幅值裕度与相角裕度的计算式并分析性能变化

本卷实例

• 关键一步：相角裕度在幅值穿越频率处求，幅值裕度在相位穿越频率处求，两个频率都要由校正后的开环传函重算
• 关键一步：写出计算式时要把校正装置的两个时间常数一并代进相频表达式
• 关键一步：分析性能变化要分静态与动态两句话：低频增益变化影响稳态误差，穿越频率与裕度变化影响动态性能
• 中间结果：滞后校正后幅值穿越频率略有下降，相角裕度可能略有减小但仍然稳定
• 卡点：两个裕度用同一个频率计算；或分析性能时只讲精度不讲稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过写出校正后系统幅值裕度与相角裕度的计算式并分析性能变化
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

6六、离散系统稳定性与斜坡误差#

思路

• 求闭环脉冲传函、稳定时增益范围，再判断在给定采样周期下能否同时满足斜坡误差要求与稳定性

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统的闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按采样开关位置决定哪些连续环节可以合并后再做 z 变换
• 关键一步：零阶保持器要与后续连续部分合并处理，合并后按部分分式逐项查表
• 关键一步：闭环脉冲传函由开环脉冲传函按单位反馈公式写出，含增益的项要单独标出
• 中间结果：采样周期给定后，时间常数与采样周期组合的指数项要用题给数据代入，最后化成 z 的有理分式
• 卡点：把连续环节分别变换后相乘；或忘记保持器带来的 z 减一因子

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求离散系统的闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：稳定条件是闭环特征根全部落在单位圆内，可直接解根也可做 w 变换后套劳斯判据
• 关键一步：解不等式时注意离散系统的增益上界通常比连续系统小很多
• 关键一步：采样周期越大稳定允许的增益越小，可利用这一趋势核对结果
• 中间结果：二阶离散系统的稳定条件可写成三个关于系数的朱里判据不等式，用它们比解根更方便
• 卡点：把稳定条件写成实部小于零；或w 变换的映射关系写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统稳定的增益范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 判断在给定采样周期与误差要求下系统能否稳定工作

本卷实例

• 关键一步：先由斜坡输入的误差要求解出增益必须满足的范围
• 关键一步：再与稳定性给出的增益范围取交集，若交集为空就说明两项要求无法同时满足
• 关键一步：本题要先算出误差要求给出的增益下界，再看它是否已经超过稳定上界
• 中间结果：采样周期为一秒时离散系统的稳定增益上界很小，而误差要求往往需要更大的增益，两者容易冲突
• 卡点：只回答能不能而不给出两个区间的比较过程；或忘记采样周期也影响速度误差系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过判断在给定采样周期与误差要求下系统能否稳定工作
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

7七、非线性系统的奇点与相平面#

思路

• 对含平方项的二阶非线性方程求奇点、线性化判断类型，再画相平面图说明稳定性

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 求非线性系统的奇点并在奇点附近线性化
• 绘制相平面图并分析稳定性

本卷实例

• 关键一步：奇点由状态导数全部为零解出：本题把非线性项分解后得到一个原点和一个负实轴上的点
• 关键一步：在奇点处对非线性函数求偏导做线性化，得到该点附近的线性系统
• 关键一步：按线性系统的特征根类型判断奇点性质：实部为负的共轭复根对应稳定焦点，一正一负的实根对应鞍点
• 中间结果：本题原点是稳定焦点，另一个奇点线性化后有一个正实根，是鞍点
• 中间结果：鞍点的稳定流形把相平面分成不同区域，只有初值落在通向原点的区域内相轨迹才收敛，其余都会发散
• 卡点：只求一个奇点；或把鞍点也当成稳定奇点，直接下系统全局稳定的结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过求非线性系统的奇点并在奇点附近线性化
• 本卷考过绘制相平面图并分析稳定性
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用线性化方法判断非线性系统在奇点附近的稳定性

本卷实例

• 关键一步：第一法只判断局部稳定性：线性化后特征值实部全负则该奇点渐近稳定，有正实部则不稳定
• 关键一步：出现纯虚根时第一法失效，需要改用第二法或其他方法
• 关键一步：多个奇点要分别判断，不能用一个奇点的结论概括整个系统
• 中间结果：两个奇点一个是稳定焦点一个是鞍点，说明系统具有两个不同的局部行为，全局稳定性取决于初始条件
• 卡点：把局部结论说成全局结论；或对鞍点情形仍套用渐近稳定的说法

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用线性化方法判断非线性系统在奇点附近的稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式