国防科技大学 851 自动控制理论（含现控） 2021 年真题思维导图

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难度：中等　8 道大题：信号流图、二阶系统指标反求、稳态误差、参数根轨迹、Bode 反求、超前校正、离散系统、状态空间各一题；无选择填空

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1一、信号流图与梅森公式求传递函数#

思路

• 由系统框图逐支路写出增益并画信号流图，找出全部回路与各前向通路，再用梅森公式写出闭环传递函数。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由系统框图画信号流图并用梅森公式求 T(s)

本卷实例

• 关键一步：先按框图各支路定增益，再列举全部回路与各前向通路
• 中间结果：特征式为 1 减各回路增益之和再加互不接触回路乘积
• 中间结果：T(s) 为各前向通路增益乘其余子式之和再除以特征式
• 卡点：框图以图给出，支路增益需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由系统框图画信号流图并用梅森公式求 T(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、二阶系统性能指标反求参数#

思路

• 由闭环结构写出二阶标准形式，用超调量与峰值时间联立求 K1、Kt，再按欠阻尼公式算上升时间与调节时间。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 把闭环传函化成二阶标准形式读出阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：把闭环传函分母与标准二阶特征式逐项对照
• 中间结果：一次项系数对应 2ξωn，常值项对应 ωn 的平方
• 卡点：框图以图给出，反馈支路含 Kt 的接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过把闭环传函化成二阶标准形式读出阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由 σ% 与 tp 反求参数并计算 tr、ts

本卷实例

• 关键一步：先用超调量求阻尼比，再由峰值时间求自然频率
• 中间结果：上升时间由 π 减 arccosξ 再除以阻尼振荡频率得到
• 卡点：上升时间与调节时间用的误差带系数不同，不要套同一公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由 σ% 与 tp 反求参数并计算 tr、ts
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由两项性能指标要求联立反求 K1 与 Kt

本卷实例

• 关键一步：把两个指标分别代入二阶公式后联立求解
• 中间结果：两式分别约束 ξωn 与 ωn，恰好解出两个未知量
• 卡点：解出 ωn 后不要漏回代求微分反馈系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由两项性能指标要求联立反求 K1 与 Kt
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

3三、由阻尼比与斜坡稳态误差反求参数#

思路

• 由结构图求开环与闭环传函，写出阻尼比与斜坡稳态误差两个表达式联立求 K、τ，并先确认系统稳定。

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由结构图求开环与闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：先按反馈等效写开环，再按单位负反馈写闭环
• 中间结果：开环为比例增益除以 s(s+2−Kτ) 的形式
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由结构图求开环与闭环传递函数
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环特征式写出阻尼比表达式

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征式化成二阶标准形式读一次项系数
• 中间结果：阻尼比由一次项系数与自然频率共同决定
• 卡点：τ 为负时阻尼比反而增大，注意符号方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环特征式写出阻尼比表达式
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由斜坡输入稳态误差条件反求参数

本卷实例

• 关键一步：用终值定理先写出斜坡误差表达式
• 中间结果：斜坡误差等于闭环一次项系数与常值项之比
• 卡点：用终值定理前必须先确认闭环稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由斜坡输入稳态误差条件反求参数
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

4四、参数根轨迹绘制与性能分析#

思路

• 把含 α 的闭环特征方程整理成以 α 为参数的等效开环，按参数根轨迹法则求渐近线、分离点、虚轴交点，再由它们划分稳定范围与欠阻尼范围。

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 把含参数 α 的特征方程化为等效开环画参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把只含参数 α 的项分离出来作为等效开环分子
• 中间结果：等效开环为 0.25α 除以 s(s+0.5) 平方的形式
• 卡点：参数以分子增益形式出现，须按参数根轨迹处理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过把含参数 α 的特征方程化为等效开环画参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹渐近线与实轴的交点及夹角

本卷实例

• 关键一步：由极点个数减零点个数确定渐近线条数
• 中间结果：交点取所有极点坐标平均值的相反数
• 卡点：等效开环无零点，不能把参数零点算进极点数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹渐近线与实轴的交点及夹角
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹分离点坐标及该点对应的 α

本卷实例

• 关键一步：由等效开环极点列出分离点方程
• 中间结果：分离点是实轴上两段根轨迹相向会合的位置
• 卡点：求出的根必须落在实轴根轨迹段上才有效

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹分离点坐标及该点对应的 α
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及临界参数

本卷实例

• 关键一步：令 s 等于 jω 代入特征方程后分离实部与虚部
• 中间结果：由劳斯表首列为零得到临界参数
• 卡点：辅助方程的根才是虚轴交点，不要只取一半

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及临界参数
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹确定稳定范围与欠阻尼范围

本卷实例

• 关键一步：用分离点对应参数与虚轴交点对应参数分段讨论
• 中间结果：参数在两临界值之间时闭环极点位于左半平面
• 卡点：欠阻尼范围从分离点对应参数算到临界参数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹确定稳定范围与欠阻尼范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5五、由对数频率特性求传函并判稳#

思路

• 由渐近幅频特性读转折频率与各段斜率，写出所含典型环节与开环传函，再求单位负反馈的闭环特征方程用劳斯判据判稳。

典型环节的对数频率特性 频域分析

本卷考法

• 由渐近幅频特性识别系统所含典型环节

本卷实例

• 关键一步：按各频段斜率的变化量推出对应的环节类型
• 中间结果：低频段斜率与 0dB 交点给出积分与比例环节信息
• 卡点：Bode 图以图给出，转折频率与曲线高度需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例环节是水平线，积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
• 惯性环节转角频率为 1/T，高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
• 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
• 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰，ξ 越小峰越高

步骤

• 把传递函数分解为典型环节乘积
• 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
• 代数相加得到总特性

通用考法

• 本卷考过由渐近幅频特性识别系统所含典型环节
• 画出某一典型环节的 Bode 图
• 由 Bode 图识别环节类型
• 说明转角频率处的幅值与相角

常见易错

• 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
• 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn

公式

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由 Bode 图反求系统开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：用低频段高度定增益、转折频率定时间常数
• 中间结果：开环写成微分环节与惯性环节串联的形式
• 卡点：斜率变化量对应的环节阶数不要看错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由 Bode 图反求系统开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由开环传函写出单位负反馈的闭环特征方程

本卷实例

• 关键一步：令 1 加开环传函等于 0 得闭环特征方程
• 中间结果：特征方程整理成含增益 K 的多项式
• 卡点：写闭环特征方程时不要漏掉开环分母

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由开环传函写出单位负反馈的闭环特征方程
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯表判断上述系统是否稳定

本卷实例

• 关键一步：把特征方程系数按降幂排列并补齐缺项
• 中间结果：首列元素全为正与增益的取值条件对应
• 卡点：首列出现零时要改用 ε 法继续判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯表判断上述系统是否稳定
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

6六、串联超前校正设计#

思路

• 把调节时间与超调量指标折算成相角裕度与截止频率，据此设计串联超前校正装置并校验校正后的相角裕度。

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 把时域调节时间与超调量指标折算为频域指标

本卷实例

• 关键一步：用时域与频域的近似换算公式把两个指标折成 γ 与 ωc
• 中间结果：给定相角裕度与截止频率后校正目标随之确定
• 卡点：折算时留的余量要说明，不能当作精确指标

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过把时域调节时间与超调量指标折算为频域指标
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 设计串联超前校正装置并求其参数

本卷实例

• 关键一步：由所需的超前相角确定微分时间常数
• 中间结果：所需超前角为相角裕度与未校正相角之差
• 卡点：框图以图给出，被校正对象的接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过设计串联超前校正装置并求其参数
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由相角裕度定义校验校正后的系统

本卷实例

• 关键一步：按相角裕度等于 180 度加截止频率处相角计算
• 中间结果：校正后截止频率与相角裕度需同时满足给定要求
• 卡点：截止频率与相位穿越频率不要用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由相角裕度定义校验校正后的系统
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

7七、离散系统脉冲传函与单位阶跃响应#

思路

• 求含零阶保持器的开环脉冲传函，写闭环脉冲传函，再对单位阶跃输入做 z 反变换求输出序列 y(KT)。

采样过程与香农采样定理 离散控制系统

本卷考法

• 含零阶保持器时求连续部分的 z 变换

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器因子提到 z 变换外化成 (z−1)/z
• 中间结果：采样周期取值代入指数项 e 的负 T 次方
• 卡点：零阶保持器带来的相位滞后不要漏掉

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
• 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
• 采样频率不足会产生频率混叠
• 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟

步骤

• 确定信号最高频率或系统带宽
• 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
• 必要时加入前置滤波器抑制混叠

通用考法

• 本卷考过含零阶保持器时求连续部分的 z 变换
• 由信号最高频率确定采样周期
• 判断给定采样频率是否满足采样定理
• 说明零阶保持器的频率特性

常见易错

• 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
• 忽略零阶保持器带来的相位滞后

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先求开环脉冲传函，再按单位负反馈写 G/(1+G)
• 中间结果：闭环脉冲传函分母化为 z 的一次多项式
• 卡点：没有采样开关隔开的连续环节不能直接相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环脉冲传函求单位阶跃响应的 z 反变换

本卷实例

• 关键一步：先对 Y(z) 除以 z 做部分分式展开再反变换
• 中间结果：响应由常数项与按闭环极点的幂序列项组成
• 卡点：部分分式分解时不要漏项或丢系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过由闭环脉冲传函求单位阶跃响应的 z 反变换
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

8八、状态空间能控能观与状态反馈观测器#

思路

• 由 A、B、C 构造能控与能观判别阵判断能控能观，再用极点配置法分别设计状态反馈与全维状态观测器。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能控与能观判别阵判断能控性和能观性

本卷实例

• 关键一步：分别计算 B AB 与 C CA 转置堆叠后的判别阵并看秩
• 中间结果：两个判别阵均为满秩方阵，系统能控且能观
• 卡点：不要只算到 n 减 2 个列向量就下结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能控与能观判别阵判断能控性和能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：设状态反馈阵后写闭环特征多项式并与期望式比较
• 中间结果：特征多项式各次系数与反馈增益成线性关系
• 卡点：比较特征多项式系数时符号容易写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计全维状态观测器使观测器极点都在 −10

本卷实例

• 关键一步：设观测器增益阵后写 A 减 EC 的特征多项式
• 中间结果：把期望特征式 (λ+10) 平方展开后逐项对比
• 卡点：观测器增益阵与状态反馈增益阵形式不同，不要混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计全维状态观测器使观测器极点都在 −10
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式