1一、质量弹簧阻尼系统建模与状态空间#
思路
- 对质量块用牛顿第二定律列写运动微分方程，拉氏变换求Y(s)/F(s)；再按单位负反馈闭环关系由Φ(s)反求开环G0(s)；最后取位移与速度作状态变量列状态空间表达式。
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由弹簧质量阻尼系统列运动方程求Y(s)/F(s)
本卷实例
- 关键一步：对质量块列牛顿第二定律，弹簧力与阻尼力按位移速度反号
- 中间结果：拉氏变换后分母为ms平方加f1倍s加k1加k2
- 卡点：两弹簧并接在质量块同一侧，劲度系数直接相加
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由弹簧质量阻尼系统列运动方程求Y(s)/F(s)
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 两弹簧与阻尼器共同作用下的机械系统建模
本卷实例
- 关键一步：先定各元件力的正方向，再写合外力等于质量乘加速度
- 中间结果：运动方程整理成二阶微分方程，阻尼项含速度一阶导
- 卡点：弹簧与阻尼力的符号取反会使分母出现减号
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过两弹簧与阻尼器共同作用下的机械系统建模
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
串联、并联与反馈等效
结构图与方框图
本卷考法
- 第(2)问由闭环传函反求单位负反馈开环传函
本卷实例
- 关键一步：由Φ等于G0除(1加G0)解出G0等于Φ除(1减Φ)
- 中间结果：代入后开环分母比闭环分母多出常数项k1加k2减1
- 卡点：开环常数项为k1加k2减1，勿直接沿用闭环分母
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
- 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
- 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
- 识别环节之间的连接方式
- 分别套用串联、并联或反馈等效公式
- 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
- 本卷考过第(2)问由闭环传函反求单位负反馈开环传函
- 多环节系统求闭环传递函数
- 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
- 把负反馈的分母写成 1-GH
- 并联环节相减时符号取反
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 第(3)问以位移与速度作状态变量写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：取位移与速度作两个状态变量，速度与加速度分别为状态导数
- 中间结果：状态矩阵第二行为负(k1加k2)/m与负f1/m
- 卡点：输入阵仅第二行为1/m，第一行取0
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过第(3)问以位移与速度作状态变量写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式