中国石油大学(华东) 829 自动控制原理 2021 年真题思维导图

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难度：中等偏难　十二道题：一为五小问基本概念（数学模型、非线性特点、零度根轨迹、离散稳定、极点配置条件）；二梅森公式求传函；三二阶系统动态指标与输入加扰动下的稳态误差；四根轨迹与阻尼比；五由对数幅频曲线反求传函并分析超前校正；六采样系统脉冲传函与稳态输出；七描述函数法自振；八传递函数并联实现与模拟结构图；九状态转移矩阵与状态响应；十能控能观与各状态变量分析；十一李雅普诺夫矩阵方程证明；十二状态反馈极点配置。

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1一、简答题（5 小问）20 分#

思路

• 五小问基本概念：时域频域复域数学模型、非线性系统特点、零度根轨迹法则差异、离散系统稳定条件、状态反馈任意极点配置条件

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 第(1)小问：分别举例写出时域、频域、复域中的数学模型

本卷实例

• 关键一步：时域写微分方程、状态空间表达式或差分方程并各举一例
• 关键一步：复域写传递函数，频域写频率特性，两者由 s=jω 相互联系
• 中间结果：同一系统的三种模型可互相转换
• 中间结果：频域模型是复域模型在 s=jω 上的取值
• 卡点：只写模型名称不举具体例子，简答题难以拿分
• 卡点：把频域模型与复域模型混为一谈，漏掉代入 s=jω 这一步

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过第(1)小问：分别举例写出时域、频域、复域中的数学模型
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

非线性系统的特点 非线性系统

本卷考法

• 第(2)小问：说明非线性系统与线性系统的根本区别
• 第(2)小问：说明非线性系统的运动特点

本卷实例

• 关键一步：根本区别在于系统中是否存在非线性环节、是否满足叠加原理
• 关键一步：运动特点从未知数：稳定性分析复杂、可能存在自激振荡、频率响应畸变
• 中间结果：线性系统正弦输入下稳态输出仍是同频正弦，非线性系统会产生高次谐波
• 卡点：只答不满足叠加原理，漏掉自激振荡与频率响应畸变两个特点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 不满足叠加原理，输出与初始条件、输入幅值都有关
• 可能出现自持振荡即极限环
• 响应可能对初始条件敏感，出现跳跃谐振
• 线性系统的稳定性概念需要推广为局部稳定性

步骤

• 确认系统含明显非线性环节
• 判断该非线性是本质非线性还是可线性化的弱非线性
• 按非线性分析方法选择描述函数法或相平面法

通用考法

• 本卷考过第(2)小问：说明非线性系统与线性系统的根本区别
• 本卷考过第(2)小问：说明非线性系统的运动特点
• 说明非线性系统与线性系统的本质差别
• 指出同步振荡、跳跃谐振等特有现象
• 判断某系统应选用哪种分析方法

常见易错

• 把非线性环节线性化后直接沿用线性理论的全部结论
• 认为非线性系统一定不稳定

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 第(3)小问：比较零度根轨迹与常规根轨迹的差别
• 第(3)小问：指出绘制法则中哪些发生了变化

本卷实例

• 关键一步：零度根轨迹的相角条件为 2kπ，常规为 (2k+1)π
• 关键一步：实轴段判据由右方零极点个数为奇数变为偶数
• 关键一步：渐近线夹角公式由 (2k+1)π/(n−m) 改为 2kπ/(n−m)
• 中间结果：起始角与终止角的相角条件也随之由 (2k+1)π 改为 2kπ
• 卡点：遗漏起始角与终止角两条，只答实轴段与渐近线

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过第(3)小问：比较零度根轨迹与常规根轨迹的差别
• 本卷考过第(3)小问：指出绘制法则中哪些发生了变化
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 第(4)小问：说明离散系统稳定的充分必要条件

本卷实例

• 关键一步：闭环脉冲传递函数的特征方程各特征根全部位于 z 平面单位圆内
• 关键一步：判断手段可用朱利判据或 w 变换后套劳斯判据
• 中间结果：稳定判据是特征根模小于 1，不是实部小于零
• 卡点：把连续系统「左半平面」的结论直接搬到 z 平面

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过第(4)小问：说明离散系统稳定的充分必要条件
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 第(5)小问：说明状态反馈可任意配置极点的充要条件

本卷实例

• 关键一步：充要条件是系统完全能控
• 关键一步：不完全能控时只有能控子空间对应的极点可配置
• 中间结果：能控性矩阵满秩即满足条件
• 卡点：误答成系统完全能观，或漏掉「完全」二字

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过第(5)小问：说明状态反馈可任意配置极点的充要条件
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

2二、梅森公式求闭环传递函数10 分#

思路

• 由信号流图用梅森增益公式求闭环传递函数 C(s)/R(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由信号流图用梅森增益公式求 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：先列全部独立回路并写出特征式 Δ=1−ΣL+ΣLL−…
• 关键一步：再找从 R 到 C 的全部前向通路，逐条写增益与余子式
• 关键一步：按 C/R=ΣPkΔk/Δ 合并
• 中间结果：特征式含一条两两不接触回路之积项
• 中间结果：前向通路四条，余子式均为 1
• 卡点：不接触回路找漏或重复计数；余子式中未剔除与前向通路接触的回路
• 卡点：信号流图未读图，回路与前向通路增益需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由信号流图用梅森增益公式求 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

3三、二阶系统动态指标与稳态误差10 分#

思路

• 结构图与阶跃响应曲线给定：先由超调量反求 K、b，再求 r(t)=2t 与 n(t)=1(t) 同时作用下的稳态误差

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量要求反求系统开环增益与阻尼

本卷实例

• 关键一步：由结构图写出闭环传递函数，整理成标准二阶形式
• 关键一步：由响应曲线读超调量并按 ξ 与 σ% 的公式反求阻尼比
• 关键一步：由 ωn 与 K 的关系解出 K，由结构图定 b
• 中间结果：闭环特征式与标准二阶系数逐项对应给出两组方程
• 中间结果：ξ 与 σ% 的单调关系是反求的唯一通道
• 卡点：结构图未读图，反馈支路与内环的连接需回原卷核对图
• 卡点：未把闭环传函归一化成标准二阶形式就直接套公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由超调量要求反求系统开环增益与阻尼
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求参考输入与扰动同时作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先判闭环稳定性，再对输入分量与扰动分量分别用终值定理
• 关键一步：求扰动误差时把参考输入置零，列误差对 N 的传递函数
• 关键一步：两个分量叠加得总稳态误差
• 中间结果：系统为 0 型时斜坡输入的参考误差分量发散
• 中间结果：扰动为阶跃时该分量取有限值
• 卡点：未判稳就套终值定理；把两个分量的传函混用
• 卡点：求扰动误差时未把参考输入置零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求参考输入与扰动同时作用下的稳态误差
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

4四、根轨迹绘制与稳定范围15 分#

思路

• G(s)=K*/[s(s+3)(s+6)]：绘制 K* 从 0 到∞的根轨迹，确定稳定范围，并求阻尼比 0.5 时的 K*

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制根轨迹草图并指出渐近线

本卷实例

• 关键一步：先标开环极点 0、−3、−6 并算 n−m 条渐近线
• 关键一步：按实轴段判据确定根轨迹所在的实轴区间
• 关键一步：由分离点方程求分离点并对解作取舍
• 中间结果：三条分支全部趋向无穷远，渐近线交点在实轴上
• 中间结果：分离点方程解出一取一舍
• 卡点：实轴段判据中右方零极点个数算错；分离点求出后不筛选

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制根轨迹草图并指出渐近线
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及系统稳定的 K* 范围

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程列劳斯表，令某行首元为零求临界 K*
• 关键一步：由辅助方程解出虚轴交点频率
• 关键一步：结合根轨迹走向写出稳定区间
• 中间结果：劳斯表出现全零行时用上一行构造辅助方程
• 中间结果：临界 K* 把实轴分成稳定与不稳定两段
• 卡点：只取一组解漏掉另一组；得到 K* 后未回原题核对增益定义

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及系统稳定的 K* 范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由给定阻尼比求闭环主极点的位置与对应增益

本卷实例

• 关键一步：由 ξ=0.5 定等阻尼线与负实轴夹角 60°
• 关键一步：把一对共轭主极点写成 σ(−1±j√3) 并回代闭环特征方程
• 关键一步：用特征根之和为常数的韦达关系定第三根
• 中间结果：共轭主极点满足阻尼比 0.5 的直线约束
• 中间结果：第三根由根之和关系一次定出
• 卡点：把等阻尼线画成垂直线；回代后未分离实部虚部

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由给定阻尼比求闭环主极点的位置与对应增益
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5五、由对数幅频曲线反求传函与超前校正15 分#

思路

• 最小相位系统对数幅频曲线给定：先反求 G(s) 并算截止频率与相角裕度，再分析串联校正装置 Gc(s) 对动态性能的影响

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由给定对数幅频曲线反求传递函数并校验

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率定系统型别，由低频段高度折算开环增益
• 关键一步：由各转折频率处斜率变化逐一判断零点与极点
• 关键一步：把读出的参数代回曲线校验
• 中间结果：低频段延长线与 0dB 线的交点可换算出增益
• 中间结果：转折频率处斜率每次变化对应一个一阶环节
• 卡点：把延长线交点误当增益而未折算型别
• 卡点：对数幅频曲线未读图，转折频率与低频段高度需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由给定对数幅频曲线反求传递函数并校验
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求系统的截止频率与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：在幅频 0dB 处取截止频率 ωc，代入相频算 γ=180°+∠G(jωc)
• 关键一步：也可用渐近幅频近似联立 |G(jωc)|=1 求 ωc
• 中间结果：γ 为正值表示系统稳定
• 中间结果：相角由积分环节的 −90° 与各惯性环节的 −arctan 累加
• 卡点：ωc 与 ωg 混用；相角累加时漏掉积分环节的 −90°

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求系统的截止频率与相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 分析串联超前校正对时域动态性能的影响

本卷实例

• 关键一步：由 Gc 的两个转折频率判断其为超前网络并画幅频特性
• 关键一步：超前网络在转折频率之间提供正相角，抬高相角裕度
• 关键一步：结合低频段不变说明稳态误差不变、截止频率右移
• 中间结果：超前校正保持低频段增益，故不改稳态精度
• 中间结果：高频段被抬高，抗高频干扰能力下降
• 卡点：只答提高稳定裕度，漏掉截止频率右移与抗扰能力下降
• 卡点：校正装置 Bode 图未读图，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过分析串联超前校正对时域动态性能的影响
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

6六、采样系统脉冲传函与稳态输出15 分#

思路

• 含零阶保持器的采样系统，T=1s，α>0：先求闭环脉冲传递函数，再由单位阶跃稳态输出反求 α

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由含零阶保持器的结构图求闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把连续部分乘 (1−e^{−Ts})/s 后取 z 变换
• 关键一步：连续环节间无采样开关隔开时须先合并再变换
• 关键一步：由开环脉冲传函列闭环脉冲传函
• 中间结果：零阶保持器引入 (z−1)/z 因子
• 中间结果：闭环特征多项式含 e^{−a} 形式的系数
• 卡点：无采样开关隔开的连续环节各自取 z 变换再相乘
• 卡点：采样系统结构图未读图，开关位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由含零阶保持器的结构图求闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 由单位阶跃输入下的稳态输出反求系统参数

本卷实例

• 关键一步：先由闭环特征方程判稳，再对 C(z) 用终值定理
• 关键一步：令稳态输出等于给定值建立关于参数 α 的方程
• 中间结果：阶跃输入的 R(z)=z/(z−1) 与误差式约分后极限有限
• 中间结果：α 解出后需回代特征方程验证稳定
• 卡点：未判稳直接套终值定理；约分 (z−1) 时漏项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过由单位阶跃输入下的稳态输出反求系统参数
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

7七、描述函数法求自振15 分#

思路

• 继电型非线性 N(A)=4M/(πA)，线性部分 G(s)=K/[s(Ts+1)(0.1s+1)]，要求输出振幅 0.1、频率 10 的自振，确定 K、T

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 写出继电特性的负倒描述函数并画曲线

本卷实例

• 关键一步：由 N(A)=4M/(πA) 写出负倒描述函数 −1/N(A)
• 关键一步：判断其在复平面上的形状与随 A 增大的走向
• 中间结果：理想继电特性的负倒描述函数是负实轴上的一段
• 卡点：画成 N(A) 而不是负倒描述函数；漏标 A 增大方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过写出继电特性的负倒描述函数并画曲线
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由给定自振振幅与频率反求线性部分参数

本卷实例

• 关键一步：自振时 G(jω) 与 −1/N(A) 相交，交点虚部为零给出自振频率与 T 的关系
• 关键一步：把给定自振频率代入相角条件解出 T
• 关键一步：再由交点实部与负倒描述函数幅值相等解出 K
• 中间结果：相角条件对应 G(jω) 的相角为 −180°
• 中间结果：交点幅值条件把 K、T、A 三者联系起来
• 卡点：把交点频率误当截止频率；振幅应用非线性环节输入
• 卡点：题面线性部分与解析另一写法不同，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由给定自振振幅与频率反求线性部分参数
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

8八、传递函数并联实现与模拟结构图10 分#

思路

• G(s)=(s+6)/[s(s+3)(s+4)]，给出并联型实现并画模拟结构图

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写出对角（并联）标准型并画模拟结构图

本卷实例

• 关键一步：先做部分分式展开成三个一阶并联项
• 关键一步：以三个实极点为对角元写 A，输入与输出矩阵由展开系数定
• 中间结果：三个互异实极点对应 3×3 对角阵，无约当块
• 中间结果：结构图是三路一阶并联再求和
• 卡点：部分分式系数解错；把真分式的直接项漏掉
• 卡点：模拟结构图未读图，支路连接需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写出对角（并联）标准型并画模拟结构图
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

9九、状态转移矩阵与状态响应10 分#

思路

• 二阶状态方程 A=[[0,−1],[2,−3]]、c=[−2,1]、x(0)=[1,0]ᵀ：先求状态转移矩阵，再求单位阶跃下的状态响应与输出响应

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求状态转移矩阵并由卷积积分求状态响应

本卷实例

• 关键一步：写出 sI−A 并求逆，特征值为两个互异负实数
• 关键一步：对 (sI−A)⁻¹ 逐项取拉氏反变换得 e^{At}
• 关键一步：用 x(t)=Φ(t)x(0)+∫Φ(t−τ)Bu(τ)dτ 求状态响应，再乘 C 得输出
• 中间结果：e^{At} 各元是 e^{−2t} 与 e^{−t} 的线性组合
• 中间结果：零输入项由初值 [1,0]ᵀ 直接乘 Φ(t) 得到
• 卡点：矩阵求逆时忘记检查行列式；卷积积分变量代换写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求状态转移矩阵并由卷积积分求状态响应
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

10十、能控能观与状态变量分析10 分#

思路

• 五阶上三角 A、双输入 B、双输出 C：判别能控性与能观性，并逐个分析各状态变量的能控性、能观性

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性与能观性
• 对系统进行结构分解并分析各状态变量的能控能观性

本卷实例

• 关键一步：A 为上三角阵时按状态方程逐行判断状态是否与输入有直接或间接联系
• 关键一步：把状态变量按能控、能观两个属性分成四类子空间
• 关键一步：由输出方程判断哪些状态出现在输出中决定能观性
• 中间结果：不含输入的独立状态分量属不可控；不出现在输出中的状态属不可观
• 中间结果：系统不完全能控、不完全能观
• 卡点：只看 A 阵结构就用对角线元素定能控性，漏掉 B 的耦合关系
• 卡点：把能控判据与能观判据的矩阵构造搞混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性与能观性
• 本卷考过对系统进行结构分解并分析各状态变量的能控能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

11十一、李雅普诺夫矩阵方程证明10 分#

思路

• 证明线性定常系统零平衡状态渐近稳定的充分条件是对任意正定对称 Q 存在正定对称 P 满足 AᵀP+PA=−Q

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫矩阵方程证明系统渐近稳定

本卷实例

• 关键一步：充分性：取 V(x)=xᵀPx，沿轨线求导得 V̇=xᵀ(AᵀP+PA)x=−xᵀQx
• 关键一步：由 P、Q 正定得 V 正定、V̇ 负定，据定理得渐近稳定
• 关键一步：必要性：取 P 为 e^{Aᵀt}Qe^{At} 的积分，由渐近稳定证积分收敛且 P 正定
• 中间结果：V̇ 的负定性完全由 Q 的正定性保证
• 中间结果：必要性的关键是对矩阵指数积分存在性
• 卡点：只判 P 正定而忘记 Q 必须正定；把 P、Q 的角色写反
• 卡点：必要性构造中忽略 A 特征值必须有负实部

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫矩阵方程证明系统渐近稳定
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

12十二、状态反馈极点配置10 分#

思路

• 给定系统传函，求状态反馈使闭环传函为 (s−1)/[(s+2)(s+3)]

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：先把原传函化为能控标准型实现，确认完全能控
• 关键一步：设 K=[k1,k2,k3]、取负反馈，写出 det(sI−A+bK)
• 关键一步：与期望特征式 (s+2)²(s+3) 逐项比较系数求 K
• 中间结果：能控标准型下闭环特征式各幂系数与 K 分量成线性对应
• 中间结果：期望特征式由目标极点 −2、−2、−3 展开
• 卡点：未先验证能控性就配极点；系数比对时符号写反
• 卡点：原题系统矩阵在 OCR 流中残缺，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式