华东理工大学 816 控制原理 2022 年真题思维导图

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难度：中等　8 道综合计算题，覆盖信号流图与梅森公式、内环速度反馈的传函与指标反求、根轨迹定点验证与绘制、幅相曲线与频率特性反求、非最小相位伯德图与对数判据、锁相环离散系统稳定与阶跃响应、分区非线性奇点与相平面、状态空间能控能观与状态反馈极点配置；缺失题面较多、依赖两源互补。

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一由方程组画信号流图并用梅森公式求传函#

思路

• 把五个信号方程整理成因果链，画信号流图或结构图；找出所有前向通道与回路，判断两两是否接触，代入梅森公式求闭环传函。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由方程组对应系统画信号流图并用梅森公式求闭环传函

本卷实例

• 关键一步：按方程把每个 x 表示为上游信号组合后再连线
• 中间结果：从 R 到 C 有三条前向通道，单独回路两个且互不接触
• 卡点：三条前向通道与两个回路的接触关系容易数错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由方程组对应系统画信号流图并用梅森公式求闭环传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路找漏或重复计数
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

二速度反馈系统传函与阻尼稳态指标反求参数#

思路

• 由题图化简内环速度反馈求闭环传函，对照二阶标准形式写阻尼比与自然频率；由阶跃稳态值不超过给定值和阻尼增加给定值的双条件列三个参数的方程，再代入其中一个参数解出其余取值。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由含内环速度反馈的结构图求闭环传函并化二阶标准形式

本卷实例

• 关键一步：先化简内环负反馈支路，再按单回路写闭环分母
• 中间结果：闭环分母一次项含两个参数的乘积，常数项含另两个参数的乘积
• 卡点：需回原卷核对图 2 内环反馈的接入点与反馈系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由含内环速度反馈的结构图求闭环传函并化二阶标准形式
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把二次项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由稳态值与阻尼增加量反求三个参数的约束方程

本卷实例

• 关键一步：写阶跃稳态值并令其不超过给定值，再把阻尼增加量写成引入反馈前后的阻尼比之差
• 中间结果：稳态条件给出一个乘积的下界，阻尼条件给出另一个乘积的等式
• 卡点：两个条件必须联立，只用其中一个会漏解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由稳态值与阻尼增加量反求三个参数的约束方程
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 本卷考过只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求阶跃输入下的稳态输出并与给定上限比较

本卷实例

• 关键一步：用终值定理取闭环传函乘输入在 s 趋于零的极限
• 中间结果：稳态输出等于闭环传函直流增益乘单位阶跃幅值
• 卡点：列稳态条件前先确认闭环系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求阶跃输入下的稳态输出并与给定上限比较
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就套用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

三根轨迹定点验证与根轨迹绘制#

思路

• 先用相角条件验证给定点在根轨迹上，用幅值条件求该点根轨迹增益并换算开环增益；再按法则求渐近线、分离点与虚轴交点，画出概略根轨迹。

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 用相角条件验证给定点是否在根轨迹上
• 用幅值条件求该点对应的根轨迹增益

本卷实例

• 关键一步：把给定点代入各开环零极点向量算相角代数和，再算幅值比
• 中间结果：相角代数和满足条件，幅值比给出根轨迹增益
• 卡点：根轨迹增益与开环增益差一个常数，换算时别漏乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过用相角条件验证给定点是否在根轨迹上
• 本卷考过用幅值条件求该点对应的根轨迹增益
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 本卷考过把相角条件的一百八十度写成零度
• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制三极点无零点的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：标出三个实极点后定实轴根轨迹段与三条渐近线
• 中间结果：渐近线交点为三极点的平均值，相邻夹角间隔六十度
• 卡点：分离点方程求出后要判断哪个根落在实轴根轨迹段上

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制三极点无零点的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线夹角公式中的二 k 加一写成二 k
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求分离点坐标并判断解的取舍

本卷实例

• 关键一步：由幅值条件解出增益关于 s 的表达式后令其导数为零
• 中间结果：分离点方程为一个二次方程
• 卡点：只有一个根落在负实轴根轨迹段上，另一个舍去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求分离点坐标并判断解的取舍
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出方程根后不筛选
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：把 s 等于 jω 代入特征式，令实部与虚部同时为零
• 中间结果：劳斯表首列等于零给出临界增益，辅助方程给出交点频率
• 卡点：交点频率要由辅助方程另解，不能直接读劳斯表

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过得到增益后没有回到原题核对参数定义
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

四由幅相条件与稳态误差反求开环频率特性#

思路

• 由开环传函写出频率特性并概略画幅相曲线；再由给定频率处的幅值、相角与单位斜坡稳态误差三个条件联立，反求增益与两个时间常数，写出频率特性。

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由开环传函写出频率特性并概略画幅相曲线

本卷实例

• 关键一步：由起点、终点与单调性确定幅相曲线的大致走向
• 中间结果：曲线由无穷远处出发，随频率增大幅值单调减小
• 卡点：题目未给具体参数，曲线只能画概略形状

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由开环传函写出频率特性并概略画幅相曲线
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由单位斜坡稳态误差为给定值反求开环增益

本卷实例

• 关键一步：先由型别写速度误差系数，再由误差要求反解增益
• 中间结果：单位斜坡误差等于速度误差系数的倒数
• 卡点：反求增益前先确认系统在所求参数下稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由单位斜坡稳态误差为给定值反求开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过一型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由给定频率处的幅值与相角列出两个方程

本卷实例

• 关键一步：把频率等于一处的幅值与相角条件分别代入频率特性
• 中间结果：相角条件化为两个时间常数乘积等于一，幅值条件给出二者之和
• 卡点：相角为负一百八十度对应该频率处虚部为零，注意分母实部符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由给定频率处的幅值与相角列出两个方程
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过相角条件化简时把两个时间常数的位置写反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

五非最小相位系统伯德图、对数判据与稳定裕度#

思路

• 把开环写成典型环节乘积，指出右半平面极点；画对数幅频渐近线与相频曲线，用对数判据判稳，再求截止频率处的相角裕度与相位穿越处的幅值裕度。

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 识别开环中的非最小相位环节并说明其对判稳的影响

本卷实例

• 关键一步：由开环分母的右半平面根确定开环右半极点数
• 中间结果：非最小相位环节幅频与对应最小相位环节相同，相频多滞后一百八十度
• 卡点：判稳时必须把开环右半极点数计入，不能沿用最小相位结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过识别开环中的非最小相位环节并说明其对判稳的影响
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 本卷考过把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 按典型环节画开环对数幅频渐近线与相频曲线

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率由积分环节确定，再按转折频率逐段累加
• 中间结果：非最小相位环节的相频从负一百八十度起算
• 卡点：相频起点要加上右半极点贡献的负一百八十度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过按典型环节画开环对数幅频渐近线与相频曲线
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用对数判据由正负穿越次数判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：在幅频大于零分贝的频段数相频穿越负一百八十度线的次数
• 中间结果：判稳关系为正负穿越次数之差等于开环右半极点数的一半
• 卡点：开环右半极点数取一而非零，判据关系与最小相位系统不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用对数判据由正负穿越次数判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过没有先数开环右半平面极点数 P
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率处的相角裕量与相位穿越处的幅值裕量

本卷实例

• 关键一步：由幅频等于零分贝求截止频率，由相频等于负一百八十度求相位穿越频率
• 中间结果：相角裕度由一百八十度加截止频率处相角给出
• 卡点：该题相频不穿越负一百八十度，幅值裕量需按定义说明不存在

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率处的相角裕量与相位穿越处的幅值裕量
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把截止频率与相位穿越频率用反
• 本卷考过幅值裕度取倒数未取导致结论反了
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

六锁相环采样系统稳定性与阶跃响应#

思路

• 由框图写连续部分与零阶保持器的组合传函，做 z 变换得开环与闭环脉冲传函；代入给定参数求特征方程的根判断稳定性，再用长除法或 z 反变换求单位阶跃响应。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由锁相环框图求开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器与连续部分相乘后整体取 z 变换
• 中间结果：开环脉冲传函化为一个一阶环节的形式
• 卡点：需回原卷核对图 6 锁相环的采样开关与保持器位置

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由锁相环框图求开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过把两个没有采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 对部分分式形式做 z 变换并整理成有理分式

本卷实例

• 关键一步：把连续传函部分分式展开后逐项查表取 z 变换
• 中间结果：结果中保留含 e 的负采样周期次方的系数
• 卡点：数值代入要在部分分式完成之后，否则系数会错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过对部分分式形式做 z 变换并整理成有理分式
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 本卷考过部分分式分解时漏项导致反变换出错
• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 代入给定参数由特征根判断离散系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程求根并比较模与一的大小
• 中间结果：一对共轭特征根的模小于一
• 卡点：阶跃响应后段是否收敛由特征根的模决定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过代入给定参数由特征根判断离散系统稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于一
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

七分区非线性系统的奇点与相平面图#

思路

• 按速度符号把方程分为两个区域，分别令速度和加速度为零求平衡点；在各平衡点处线性化得特征方程判断奇点类型，再据此画相平面图。

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 分段非线性系统求奇点并绘制相平面图

本卷实例

• 关键一步：按速度符号分区域写方程，再令速度与加速度为零求平衡点
• 中间结果：两个区域各有一个平衡点，须分别讨论
• 卡点：两区域的方程不同，相平面要分区绘制

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过分段非线性系统求奇点并绘制相平面图
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 本卷考过相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 本卷考过把相轨迹与根轨迹混淆
• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

非线性模型的线性化 建模与机电系统

本卷考法

• 在平衡点处对非线性方程线性化并判断奇点类型

本卷实例

• 关键一步：在平衡点处对右端函数求偏导，得线性化方程
• 中间结果：特征方程为一对纯虚根，对应中心点
• 卡点：中心点是线性化近似结论，实际相轨迹形状要结合分区方程绘制

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
• 线性化模型只在小偏差范围内有效
• 必须先求出平衡工作点

步骤

• 由静态方程求平衡工作点
• 在工作点处求偏导得到增量系数
• 写出以增量表示的线性化方程

通用考法

• 本卷考过在平衡点处对非线性方程线性化并判断奇点类型
• 对非线性微分方程在平衡点处线性化
• 写出小偏差线性化模型的传递函数

常见易错

• 本卷考过未先求平衡点就直接展开
• 本卷考过把增量符号去掉后与原始变量混用
• 未先求平衡点就直接展开
• 把增量符号去掉后与原始变量混用

公式

八状态空间能控能观、传函与状态反馈极点配置#

思路

• 由系统矩阵、输入列与输出行构造能控性与能观性矩阵判秩；用传函公式求输出对输入的传递函数；再分别对两组期望特征值设状态反馈，比较特征多项式系数解反馈阵。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能控性与能观性矩阵并判断秩

本卷实例

• 关键一步：分别按输入列与输出行构造能控性矩阵、能观性矩阵
• 中间结果：两个矩阵都满秩，系统完全能控且完全能观
• 卡点：系统矩阵含重特征值，判秩时注意线性相关行

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能控性与能观性矩阵并判断秩
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到系统矩阵的 n 减二次方乘输入矩阵就下结论
• 本卷考过把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数 Y 比 U

本卷实例

• 关键一步：按公式用状态矩阵的逆左乘输出行右乘输入列
• 中间结果：传递函数分母为系统矩阵特征多项式，分子至多为二次
• 卡点：若存在零极点对消，传函阶数会低于状态维数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数 Y 比 U
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 本卷考过漏掉直接传递项 D
• 本卷考过把特征值个数与传函极点数直接等同而不检查对消
• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 对两组期望极点分别设计状态反馈增益阵

本卷实例

• 关键一步：设反馈增益，写闭环特征多项式并与期望多项式逐项比较
• 中间结果：两组期望极点各给出三个系数方程
• 卡点：三阶系统需三个反馈增益，两组条件分别独立求解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过对两组期望极点分别设计状态反馈增益阵
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
• 本卷考过特征多项式比较系数时符号写反
• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式