山东大学 847 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图

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难度：中等偏难　10 题 150 分；结构图、复合控制定参数、根轨迹三小问、含右半平面极点系统的奈氏与伯德、超前校正（含最大裕度设计）、非线性自振、离散极点配置与误差、状态转移矩阵反求、最小实现、状态反馈与输出反馈对比，题题带小问

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1一、结构图求传递函数#

思路

• 由给定结构图求 C(s)/R₁(s)

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 由结构图求指定输入到输出的传递函数

本卷实例

• 关键一步：图中有多个输入时，只保留题目指定的那一个，其余输入一律置零
• 关键一步：从指定输入到输出逐步化简，嵌套回路由内向外处理
• 关键一步：化简比较点与引出点时注意支路上环节的位置变化
• 中间结果：分母是系统特征式，与求其他输入到输出的传函时完全一致
• 卡点：没有把其余输入置零；或把串联与反馈的等效顺序弄反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过由结构图求指定输入到输出的传递函数
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

2二、由给定误差与扰动误差要求定参数#

思路

• 对象含一个积分环节，串入比例微分环节，由给定输入的稳态误差与扰动输入的稳态误差要求反求两个增益

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由给定输入下的稳态误差要求反求开环增益

本卷实例

• 关键一步：先数型别：开环含一个积分环节属 Ⅰ 型，斜坡输入下的稳态误差等于斜坡斜率除以速度误差系数
• 关键一步：速度误差系数等于开环传函去掉一个 s 后取低频极限，本题结果恰好等于对象增益
• 关键一步：把误差要求代入即可直接解出对象增益，校正装置的时间常数不影响这一项
• 中间结果：本题给出斜坡输入的误差为一，解出的对象增益为一，是一个非常整齐的数
• 卡点：把比例微分环节的增益也乘进速度误差系数；或未判稳就用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由给定输入下的稳态误差要求反求开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 由扰动作用下的稳态误差要求反求校正装置的时间常数

本卷实例

• 关键一步：令参考输入为零，单独求扰动到误差的传递函数，注意扰动作用点在比较点之后还是之前
• 关键一步：把扰动信号代入后取低频极限，得到扰动稳态误差的表达式
• 关键一步：由不等式解出校正装置时间常数的取值范围，注意它出现在分子上时方向正好相反
• 中间结果：扰动误差的表达式是对象增益与时间常数的组合，两者需同时满足给定输入的误差要求
• 卡点：把扰动通道与给定通道的传函混用；或解不等式时方向写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过由扰动作用下的稳态误差要求反求校正装置的时间常数
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

3三、根轨迹与无超调增益范围#

思路

• 对被控对象画根轨迹，求阶跃响应无超调时的增益范围，再由给定闭环极点求斜坡输入的稳态误差

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制增益由零到正无穷变化时的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先把被控对象写成标准开环形式，标出全部零极点
• 关键一步：按实轴段判据定出属于根轨迹的实轴区间，再算渐近线、分离点与虚轴交点
• 关键一步：图上要标出分离点与虚轴交点对应的增益，这两个增益是后面两小问的依据
• 中间结果：根轨迹的形状完全由开环零极点在实轴上的分布与相对阶数决定，本题需要先看清反馈接在哪
• 卡点：被控对象只画在结构图里，正文未印，必须先回原卷核对对象传函再画

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制增益由零到正无穷变化时的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 确定使阶跃响应无超调的增益范围

本卷实例

• 关键一步：无超调对应闭环极点全部落在实轴上，也就是根轨迹还没有离开实轴的那一段
• 关键一步：这段范围的边界就是分离点对应的增益：增益小于它时所有闭环极点都是实根
• 关键一步：分离点与虚轴交点之间的增益区间对应衰减振荡，要一并说清楚三段的区别
• 中间结果：无超调并不等于稳定，增益很小时响应单调但很慢，增益很大时可能是单调发散
• 卡点：把无超调当成稳定；或只给一个端点不写区间

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过确定使阶跃响应无超调的增益范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由给定闭环极点求单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：把给定的闭环极点代入闭环特征方程，解出对应的开环增益
• 关键一步：再用这个增益算出速度误差系数，斜坡输入下的稳态误差等于斜率除以速度误差系数
• 关键一步：闭环极点给了三个条件，本题只需其中一个即可定出增益，另外两个可用来验算
• 中间结果：闭环极点为一对共轭复根时，实部决定衰减速度、虚部决定振荡频率，两者都与增益有关
• 卡点：把开环增益与闭环极点直接对应而不经过特征方程；或速度误差系数忘记乘增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由给定闭环极点求单位斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

4四、含右半平面极点系统的幅相特性与稳定域#

思路

• 开环含一个右半平面极点与一个零点，画幅相曲线，用奈氏判据分析增益与稳定性的关系，并画伯德图幅频特性

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 绘制开环幅相特性曲线并用奈奎斯特判据分析增益与稳定性的关系

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点：本题分母有一个 s 减一的因子，所以右半平面极点数为一个
• 关键一步：求曲线穿过负实轴的位置：令相角等于负一百八十度解出频率
• 关键一步：按包围圈数与右半平面极点数满足判据关系确定稳定所要求的增益范围
• 关键一步：该频率处曲线与负实轴交点的坐标正比于增益
• 中间结果：本题相角条件可化成两个反正切之和等于九十度，用正切乘积等于一可直接解出穿越频率
• 中间结果：穿越点在负实轴上的坐标恰好等于增益，所以临界增益就是一，增益大于一时系统稳定
• 卡点：忘记先数右半平面开环极点数，直接套最小相位系统的判据；或把穿越频率算错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过绘制开环幅相特性曲线并用奈奎斯特判据分析增益与稳定性的关系
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

典型环节的对数频率特性 频域分析

本卷考法

• 绘制伯德图的幅频特性曲线

本卷实例

• 关键一步：先定低频段：分母含一个 s，斜率每十倍频程下降二十分贝
• 关键一步：分子是一个一阶微分环节，经过它的转折频率时斜率上升二十分贝
• 关键一步：按转折频率从小到大逐段改斜率，画完用高频段的斜率核对总斜率变化量
• 关键一步：分母的 s 减一因子转折频率在正实数处，幅频仍按惯性环节处理
• 中间结果：含右半平面极点时幅频特性与最小相位系统相同，相位特性才有差别，所以幅频图可以照常规画
• 卡点：把右半平面极点当成不稳定环节在幅频上也做特殊处理；或忘记积分环节的低频斜率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例环节是水平线，积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
• 惯性环节转角频率为 1/T，高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
• 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
• 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰，ξ 越小峰越高

步骤

• 把传递函数分解为典型环节乘积
• 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
• 代数相加得到总特性

通用考法

• 本卷考过绘制伯德图的幅频特性曲线
• 画出某一典型环节的 Bode 图
• 由 Bode 图识别环节类型
• 说明转角频率处的幅值与相角

常见易错

• 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
• 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn

公式

5五、超前校正设计与最大裕度增益#

思路

• 先按静态速度误差系数确定增益并算出未校正系统的截止频率与相角裕度，再设计串联超前校正；后半题用频率法求使相角裕度最大的增益

超前校正 系统校正

本卷考法

• 按静态误差系数与相角裕度要求设计串联超前校正装置

本卷实例

• 关键一步：静态速度误差系数要求直接给出开环增益，因为 Ⅰ 型系统的速度误差系数等于开环增益
• 关键一步：画出原系统伯德图，求幅值穿越频率并写出相角裕度的计算表达式，判断是否满足要求
• 关键一步：不满足时按需要的相角增量设计超前网络
• 关键一步：先定最大超前角与两时间常数之比，再把最大超前角频率安放在新穿越频率
• 中间结果：本题要求只写详细步骤不算具体结果，所以重点是流程完整、每一步的依据写清楚
• 卡点：步骤里漏掉校验环节；或把最大超前角出现的频率错当成原系统的穿越频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过按静态误差系数与相角裕度要求设计串联超前校正装置
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 用频率法求使系统具有最大相角裕度的增益

本卷实例

• 关键一步：把开环相角写成频率的函数，其中校正装置的两个转折频率都给定了
• 关键一步：相角裕度最大等价于该处相角取极大值，对相角的表达式求导并令导数为零解出频率
• 关键一步：再由该频率处幅值为一的条件反求增益
• 中间结果：对相角求导时两个反正切项的导数结构相同，可约简成一个关于频率的代数方程
• 卡点：直接对相角裕度求极值却忘记相角裕度里含常数项一百八十度；或求导后忘记回代求幅值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过用频率法求使系统具有最大相角裕度的增益
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

6六、非线性系统自振与延迟影响#

思路

• 由输出端给定的近似正弦振幅确定增益与振荡频率，再定性分析纯延迟增大时振幅与频率的变化趋势

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由给定振幅确定增益与振荡频率
• 分析延迟增大对振幅与频率的影响趋势

本卷实例

• 关键一步：输出端振幅给定，描述函数在该振幅处的取值随之确定
• 关键一步：令线性部分的奈奎斯特曲线穿过这个点：相角条件给出频率、幅值条件给出增益
• 关键一步：纯延迟只增加相位滞后、不改变幅值，所以它会把曲线整体往顺时针方向旋转
• 关键一步：负倒描述函数随之成为负实轴上的一个确定点
• 中间结果：振幅给成圆周率的倒数时，描述函数与负倒描述函数往往都变成简单的常数，方程很好解
• 中间结果：延迟增大使相角条件在更高的频率处满足，频率升高而幅值下降，因此振幅会随之减小
• 卡点：非线性环节的类型与参数只画在图 5 里，需回原卷核对特性形状
• 卡点：写描述函数时还要考虑延迟对幅值的影响

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由给定振幅确定增益与振荡频率
• 本卷考过分析延迟增大对振幅与频率的影响趋势
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

7七、离散系统极点配置与稳态误差#

思路

• 由离散结构图确定两个参数使闭环极点落在指定位置，再求复合输入下的稳态误差

离散系统的动态性能与极点分布 离散控制系统

本卷考法

• 确定参数使离散闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：先写出该离散系统的闭环特征方程，把两个待定参数整理成系数形式
• 关键一步：由给定期望极点写出期望特征多项式，两个极点都是负实数，展开后系数很直接
• 关键一步：逐项比较系数解出两个参数，注意离散系统的极点位置与连续系统不同，不能用阻尼比的思路
• 中间结果：期望多项式一次项系数等于两极点之和的相反数
• 中间结果：常数项等于两极点之积，两个方程解两个未知量
• 卡点：把离散极点当成连续极点直接套阻尼比；或被控对象只画在图 6 里，需回原卷核对结构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点在 z 平面上的位置决定响应形式
• 极点越靠近原点衰减越快，越靠近单位圆振荡越强
• 极点的幅角决定振荡频率，幅值决定衰减速度
• 采样周期增大会使动态性能变差甚至不稳定

步骤

• 求闭环脉冲传递函数的极点
• 按极点在单位圆内的位置判断响应形式
• 由极点的模与幅角估算衰减与振荡频率
• 与连续系统指标对应关系相互校验

通用考法

• 本卷考过确定参数使离散闭环极点位于指定位置
• 由闭环极点分布判断动态性能
• 与连续域指标互相换算
• 说明采样周期对动态性能的影响

常见易错

• 把 z 平面极点当作 s 平面极点直接读阻尼比
• 忽略单位圆上极点对应等幅振荡

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求复合输入下离散系统的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：输入含常数项与斜坡项，先由开环脉冲传函在 z 等于一处的极点重数确定型别
• 关键一步：常数项的误差与位置误差系数有关，斜坡项的误差与速度误差系数有关，两项要分别算
• 关键一步：把已求出的参数代入后解出两项误差并相加，结果应与增益成反比
• 中间结果：开环含一个 z 等于一的极点时阶跃项无误差，总误差就等于斜坡项的贡献
• 卡点：用连续系统的静态误差系数公式；或只算斜坡项而漏掉常数项是否贡献误差的判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求复合输入下离散系统的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

8八、由状态响应反求转移矩阵与系统矩阵#

思路

• 由两组初值与对应的零输入响应求状态转移矩阵、系统矩阵，再求给定初值下的解

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由两组初值与状态响应求状态转移矩阵与系统矩阵
• 求给定初始状态下的状态方程解

本卷实例

• 关键一步：响应可写成初值乘一个纯指数因子时，说明该初值就是系统矩阵的特征向量，指数上的系数就是特征值
• 关键一步：两组初值给出两个特征方向与两个特征值，把它们按列拼成变换矩阵，用相似变换写出状态转移矩阵
• 关键一步：系统矩阵可由状态转移矩阵在原点处对时间求导得到；求具体初值下的解只需把初值代进状态转移矩阵
• 中间结果：本题两个特征值分别为负二与负一
• 中间结果：把解出的系统矩阵回代到两个特征方向上验算，即可确认符号没有弄错
• 中间结果：状态转移矩阵四个元素都是两指数项的线性组合，零时刻回到单位阵
• 卡点：把响应里的系数当成初值；或忘记状态转移矩阵在零时刻等于单位阵这一自检条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由两组初值与状态响应求状态转移矩阵与系统矩阵
• 本卷考过求给定初始状态下的状态方程解
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

9九、不可控不可观的条件与最小实现#

思路

• 由分母已分解的三阶传递函数讨论零极点对消，再在指定参数下写出能控标准型最小实现

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 确定使系统不可控且不可观的参数取值并写出能控标准型最小实现

本卷实例

• 关键一步：先把分母因式分解：本题分母是一个二重根乘一个单根，极点分布很整齐
• 关键一步：系统不可控且不可观等价于传递函数存在零极点对消，也就是分子的一次式的零点与分母某个极点重合
• 关键一步：确定参数后把分子分母的公因式约掉，剩下的严真分式才能写成能控标准型最小实现
• 中间结果：分母的因式分别对应一个二重极点与一个单极点，所以使分子与分母有公因式的参数有两个取值
• 中间结果：约分后系统降为二阶，能控标准型的分母系数就是剩下二次因式的系数
• 卡点：只找与单根重合的那一个参数，漏掉与二重根重合的取值；或约分后仍按三阶写实现

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过确定使系统不可控且不可观的参数取值并写出能控标准型最小实现
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 说明零极点对消与能控性、能观性判定之间的关系

本卷实例

• 关键一步：能控标准型实现永远能控，但存在零极点对消时它就不满足能观
• 关键一步：能观标准型实现永远能观，同样情形下它就不满足能控
• 关键一步：所以「不可控且不可观」这句话要理解成传递函数不可约性被破坏，即最小实现降阶
• 中间结果：最小实现的阶数等于约分后分母的次数，约掉几个因子阶数就降几阶
• 卡点：把能控标准型实现说成可能不可控；或把秩判据的结论与传递函数的可约性割裂开

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过说明零极点对消与能控性、能观性判定之间的关系
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

10十、状态反馈与输出反馈的稳定域对比#

思路

• 给定二阶系统，分别用状态反馈与输出反馈使闭环稳定，求参数范围并讨论能控能观性的变化

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 分别求使状态反馈与输出反馈闭环稳定时参数的取值范围

本卷实例

• 关键一步：状态反馈按控制律写成含参数的闭环系统矩阵，求其行列式得到特征多项式
• 关键一步：输出反馈是从输出量经一个标量增益送回输入端，闭环系统矩阵里反馈量只通过输入矩阵作用
• 关键一步：两个特征多项式都要化成系数形式，用二阶系统两个系数同号的条件（或劳斯判据）解出参数范围
• 中间结果：本题状态反馈与输出反馈给出的特征多项式不同，稳定域也不一样，输出反馈的约束更强
• 中间结果：两个范围都是单侧区间，可用端点处的特征根位于虚轴来验算
• 卡点：输出反馈时忘记反馈量要经过输出矩阵；或二阶系统只用一次项系数判稳而漏掉常数项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过分别求使状态反馈与输出反馈闭环稳定时参数的取值范围
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断状态反馈前后与输出反馈后系统能控性、能观性的变化

本卷实例

• 关键一步：状态反馈不改变系统的能控性，这一条可以直接断言并说明理由
• 关键一步：输出反馈也不改变能控性与能观性，只是改变了极点位置
• 关键一步：能观性判断仍是构造能观性矩阵求秩，闭环矩阵与输出矩阵都要换成反馈后的
• 中间结果：本题反馈前后能控性矩阵与能观性矩阵的行列式都不为零，所以两种性质始终保持
• 卡点：误以为状态反馈不改变能观性（其实一般会改变，输出反馈才不变）
• 卡点：算矩阵时忘了用闭环系统的矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断状态反馈前后与输出反馈后系统能控性、能观性的变化
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式