南京师范大学 857 控制原理 2025 年真题思维导图

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难度：中等偏易　题量大、以基本概念与简单计算为主（五道选择、多道填空简答），后段才有梅森公式、正弦稳态、复合控制、根轨迹与非线性自振等计算题

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1校正装置类型判断#

思路

• 由传递函数形式比较网络高频与低频增益，判断属于超前还是滞后校正

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 由传递函数形式判断校正网络的类型

本卷实例

• 关键一步：比较网络高频增益与低频增益的大小关系
• 中间结果：相频是两段反正切之差，其正负由参数与一的大小定
• 卡点：参数与一的大小关系决定超前或滞后，别只看结构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过由传递函数形式判断校正网络的类型
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 本卷考过把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

2二阶反馈系统稳定性#

思路

• 写出含参数a、k的闭环特征式，用劳斯判据讨论参数取值与闭环稳定性的关系

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 讨论参数a、k取值与闭环稳定性的关系

本卷实例

• 关键一步：先写闭环特征式再列劳斯表
• 中间结果：首列各元素全部大于零是对应的稳定条件
• 卡点：两个参数要联立判断，不能只盯其中一个

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过讨论参数a、k取值与闭环稳定性的关系
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过系数有缺项时不补零就直接套用判据
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

3传递函数的决定因素#

思路

• 回到传递函数定义，明确其只由系统本身的结构与参数决定

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 说明传递函数由系统的哪些因素决定

本卷实例

• 关键一步：由传递函数定义出发看其与输入和初值是否有关
• 中间结果：传递函数只描述系统自身的固有特性
• 卡点：传递函数与输入信号形式和初始条件无关

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过说明传递函数由系统的哪些因素决定
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 本卷考过忽略零初始条件这一前提
• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

4典型输入信号#

思路

• 按单位抛物线的标准定义写出其时间表达式并对应到拉氏变换

典型输入信号 基本概念与信号

本卷考法

• 写出单位抛物线输入信号的数学表达式

本卷实例

• 关键一步：按阶跃、斜坡、抛物线的阶次递推记忆
• 中间结果：单位抛物线是斜坡信号对时间的积分
• 卡点：单位二字的系数容易漏，注意与t平方区分

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 常用典型输入有冲激、阶跃、斜坡、抛物线（加速度）与正弦五类
• 阶跃信号用于考查快速性与稳定性，斜坡与抛物线用于考查稳态精度
• 正弦信号用于频域分析，冲激响应就是系统的传递函数
• 各典型信号的拉氏变换是分析全响应的起点

步骤

• 按题意写出输入信号的时域表达式
• 对输入取拉氏变换得到该信号的复域形式
• 由输入类型判断考查的是动态性能还是稳态精度
• 把输入代入误差或响应公式计算

通用考法

• 本卷考过写出单位抛物线输入信号的数学表达式
• 写出典型输入信号的拉氏变换
• 说明某一典型输入信号用于考查哪类性能
• 由输入类型判断稳态误差是否为有限值

常见易错

• 本卷考过把斜坡与抛物线信号的阶次写错
• 把斜坡与抛物线信号的阶次写错
• 阶跃的拉氏变换漏掉系数（幅度不为 1 时）

公式

5系统的外部描述#

思路

• 区分输入输出模型与状态空间模型，判断微分方程描述属于哪一类

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 区分输入输出描述与状态空间描述

本卷实例

• 关键一步：由模型是否显含系统内部状态变量判断描述类型
• 中间结果：输入输出微分方程对应外部描述
• 卡点：状态空间表达式对应内部描述

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过区分输入输出描述与状态空间描述
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 本卷考过把外部描述与内部描述搞反
• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

6幅频与相频特性#

思路

• 令s取纯虚数，分别对复数取模与取相角得到幅频和相频表达式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由传递函数求幅频特性与相频特性表达式

本卷实例

• 关键一步：把s换成纯虚数后对分子分母分别取模
• 中间结果：分母的模为各环节模的乘积
• 卡点：分母含正实部极点，幅角要按象限正确取值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由传递函数求幅频特性与相频特性表达式
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过相角累加时漏掉积分环节的负九十度
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

7系统型别与开环放大倍数#

思路

• 把传函化为尾一标准型，数积分环节个数定型别，再读低频增益

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由开环传函确定系统型别与开环放大倍数

本卷实例

• 关键一步：化尾一标准型后数分母中s的幂次
• 中间结果：积分环节个数即系统型别
• 卡点：放大倍数要按尾一标准型读，勿直接抄常数项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由开环传函确定系统型别与开环放大倍数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过数错积分环节个数导致型别判错
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

8性能分析指标#

思路

• 把系统性能分析指标按稳定性、快速性与准确性归类

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 写出衡量系统性能的主要指标

本卷实例

• 关键一步：按稳定性、准确性与快速性三条基本要求归纳
• 中间结果：稳定看是否收敛，准确看稳态误差，快速看动态过程
• 卡点：题目只让写指标类别，不必展开各指标计算式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过写出衡量系统性能的主要指标
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 本卷考过只答稳定性一项，漏掉准确性与快速性
• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

9正弦输入下的稳态响应与误差#

思路

• 写出闭环与误差传函，令s取纯虚数代入正弦频率求幅值与相角，得到稳态输出与稳态误差

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求正弦输入下系统的稳态输出

本卷实例

• 关键一步：令s取纯虚数并代入给定的角频率
• 中间结果：稳态输出幅值为闭环幅频在该频率处的值
• 卡点：稳态输出相位由闭环相频在该频率处的值给出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求正弦输入下系统的稳态输出
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记把分母复数取模再相除
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 由误差传函求正弦输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先写误差传函再令s取纯虚数求幅相
• 中间结果：误差的稳态分量也是同频率正弦量
• 卡点：误差定义要用题给的误差等于参考减输出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过由误差传函求正弦输入下的稳态误差
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 本卷考过非单位反馈时两种误差定义混用
• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

10根轨迹方程的两个条件#

思路

• 由根轨迹方程的复数等式拆出幅值条件与相角条件

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 说明根轨迹方程对应的两个条件

本卷实例

• 关键一步：将根轨迹方程的复数等式分成模与相角两个部分
• 中间结果：幅值条件定增益，相角条件定轨迹形状
• 卡点：正反馈系统才用零度的相角条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过说明根轨迹方程对应的两个条件
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 本卷考过把相角条件的一百八十度写成零度
• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

11闭环反馈控制的作用#

思路

• 从扰动使被控量偏离给定值的角度说明采用闭环反馈控制的原因

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 说明采用闭环反馈控制的原因

本卷实例

• 关键一步：从扰动作用下被控量偏离给定值切入
• 中间结果：偏差经检测与反馈后产生控制作用
• 卡点：开环系统对扰动没有自动修正能力

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过说明采用闭环反馈控制的原因
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 本卷考过把被控量与操纵量搞反
• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

12分段信号的拉氏变换#

思路

• 按时间区间分段，用阶跃函数的时移把各段写成统一表达式再求拉氏变换

典型输入信号 基本概念与信号

本卷考法

• 求分段定义信号的拉氏变换

本卷实例

• 关键一步：用单位阶跃与延迟阶跃把分段函数写成统一表达式
• 中间结果：各段表达式乘上对应的延迟因子后求和
• 卡点：分段点处函数值跳变要靠阶跃项补齐

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 常用典型输入有冲激、阶跃、斜坡、抛物线（加速度）与正弦五类
• 阶跃信号用于考查快速性与稳定性，斜坡与抛物线用于考查稳态精度
• 正弦信号用于频域分析，冲激响应就是系统的传递函数
• 各典型信号的拉氏变换是分析全响应的起点

步骤

• 按题意写出输入信号的时域表达式
• 对输入取拉氏变换得到该信号的复域形式
• 由输入类型判断考查的是动态性能还是稳态精度
• 把输入代入误差或响应公式计算

通用考法

• 本卷考过求分段定义信号的拉氏变换
• 写出典型输入信号的拉氏变换
• 说明某一典型输入信号用于考查哪类性能
• 由输入类型判断稳态误差是否为有限值

常见易错

• 本卷考过阶跃的拉氏变换漏掉幅度系数
• 把斜坡与抛物线信号的阶次写错
• 阶跃的拉氏变换漏掉系数（幅度不为 1 时）

公式

13电路网络传递函数建模#

思路

• 对含运算放大器与RC的网络列节点电流方程，用虚短虚断消去中间变量求输入输出传函

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由电路网络求输入输出传递函数

本卷实例

• 关键一步：在节点处列电流方程并利用虚短虚断消元
• 中间结果：电容用复阻抗表示后网络化为代数方程
• 卡点：图一为原卷电路图，需回原卷核对元件连接

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由电路网络求输入输出传递函数
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 本卷考过含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

14多输入系统的梅森公式#

思路

• 分别对参考输入与扰动输入用梅森公式求两个传函，再按叠加原理写出总输出

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图用梅森公式求多输入系统的传递函数

本卷实例

• 关键一步：分别数参考通道与扰动通道的前向通路和回路
• 中间结果：两个通道共用同一个特征式
• 卡点：图二为原卷结构图，需回原卷核对支路与节点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图用梅森公式求多输入系统的传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过余子式中未剔除与前向通路接触的回路
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求多输入作用下的总输出表达式

本卷实例

• 关键一步：先分别求各输入到输出的传函再用叠加原理相加
• 中间结果：总输出为两通道传函乘各自输入之和
• 卡点：叠加原理只对线性系统成立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求多输入作用下的总输出表达式
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 本卷考过求扰动传函时没有把参考输入置零
• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

15复合控制与不变性条件#

思路

• 写出前馈补偿后的闭环与误差传函，用终值定理求稳态误差，再令误差为零得不变性条件

反馈校正与复合控制 系统校正

本卷考法

• 求前馈补偿器实现给定信号不变性的条件

本卷实例

• 关键一步：把前馈通道并入闭环传函后写误差传函
• 中间结果：令误差传函的分子为零即得不变性条件
• 卡点：图三为原卷结构图，需回原卷核对前馈接入点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 反馈校正可改变被包围环节的特性，抑制参数波动
• 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
• 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
• 前馈不改变闭环稳定性，可与反馈叠加使用

步骤

• 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
• 写出等效后的传递函数
• 按不变性原理列写前馈补偿器条件
• 求解补偿器并校验可实现性

通用考法

• 本卷考过求前馈补偿器实现给定信号不变性的条件
• 设计反馈校正装置改善被包围环节
• 求前馈补偿器实现不变性
• 分析复合控制对稳态误差的作用

常见易错

• 本卷考过前馈补偿器求出含高阶微分不可实现却直接采用
• 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分，不可实现却直接采用
• 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由终值定理求复合控制系统的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先判稳再由误差传函乘输入变换取s趋于零的极限
• 中间结果：斜坡输入下稳态误差与不变性参数成比例
• 卡点：误差为零要同时满足参数匹配或输入为常值之一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由终值定理求复合控制系统的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

16根轨迹绘制与阻尼比参数#

思路

• 定开环极点与实轴段、渐近线和虚轴交点后画根轨迹，再由阻尼比条件用相角条件定闭环极点、用幅值条件反求增益

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 画三阶系统根轨迹并求渐近线与分离点

本卷实例

• 关键一步：由开环极点定实轴段与渐近线交点
• 中间结果：三个开环极点对应三条轨迹分支
• 卡点：源文第16题的参数a疑漏印，答案按极点含0、负2、负7求解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过画三阶系统根轨迹并求渐近线与分离点
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过实轴段判据中的零极点个数算错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及稳定时的增益范围

本卷实例

• 关键一步：令闭环特征式取纯虚数后拆成实部与虚部
• 中间结果：虚部方程定振荡频率、实部方程定临界增益
• 卡点：稳定增益区间由虚轴交点对应的临界增益划定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及稳定时的增益范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个频率就下结论而漏掉另一组交点
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由阻尼比条件求满足要求的开环增益

本卷实例

• 关键一步：由等阻尼线与轨迹的交点定出闭环极点位置
• 中间结果：闭环极点确定后再用幅值条件反求增益
• 卡点：阻尼比零点七零七对应与负实轴夹角四十五度的等阻尼线

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由阻尼比条件求满足要求的开环增益
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

17非线性系统不产生自振的条件#

思路

• 写出死区继电特性的描述函数与负倒描述函数，画线性部分幅相曲线，令两曲线不相交即得参数条件

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求死区继电特性的描述函数

本卷实例

• 关键一步：按描述函数定义积分求非线性环节的基波分量
• 中间结果：描述函数是振幅与死区参数的函数
• 卡点：图四为原卷非线性系统图，需回原卷核对环节位置

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求死区继电特性的描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 本卷考过忽略一次谐波近似带来的适用条件
• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由负倒描述函数与幅相曲线判断是否自振

本卷实例

• 关键一步：把负倒描述函数与线性部分幅相曲线画在同一复平面
• 中间结果：两曲线无交点即不产生自激振荡
• 卡点：若有交点还要按振幅增大方向判别其稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由负倒描述函数与幅相曲线判断是否自振
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 本卷考过未标注振幅的增大方向就判断稳定性
• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

典型非线性特性及其影响 非线性系统

本卷考法

• 分析死区继电特性对自振的影响

本卷实例

• 关键一步：由描述函数的极值点确定负倒描述函数的取值范围
• 中间结果：负倒描述函数在极值点之后随振幅反向变化
• 卡点：临界条件对应两曲线恰好相切

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 饱和特性降低等效增益，可能引起系统不稳定或自振
• 死区特性使小信号时增益为零，产生稳态误差
• 间隙特性引起相位滞后，导致波形畸变与自振
• 继电特性使系统出现持续振荡并可能产生颤振

步骤

• 识别非线性环节类型
• 写出其描述函数或分段数学表达式
• 分析其对等效增益与稳定性的影响

通用考法

• 本卷考过分析死区继电特性对自振的影响
• 分析饱和或死区对系统性能的影响
• 求典型非线性的描述函数表达式
• 说明间隙为何容易引起自振

常见易错

• 本卷考过忽略死区在原点附近造成的小信号失效
• 认为饱和总是使系统更稳定
• 忽略死区在原点附近造成的小信号失效

公式