东北大学 839 控制原理 2015 年真题思维导图

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难度：中等　8 题 150 分；第 1 题简答，其后依次为微分方程组建模、阶跃响应反求参数、根轨迹圆与最小阻尼比、非最小相位系统奈氏判据、反馈校正、非线性环节串联、采样系统各 1 题

板块 考点 全部 ＋ － 适应

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一简答：线性与非线性系统10 分#

思路

• 纯概念题，先给线性与非线性的定义与判别方法，再从多个角度逐条列本质区别

非线性系统的特点 非线性系统

本卷考法

• 如何区分线性系统与非线性系统
• 列举线性系统与非线性系统的主要区别

本卷实例

• 关键一步：以齐次性与叠加性作为线性系统的判别条件
• 关键一步：从数学模型、叠加性、稳定性与初值关系三个方面对比区别
• 中间结果：线性系统运动方程可用线性微分方程描述
• 中间结果：非线性系统的运动与起始偏离大小有关
• 卡点：只答定义却不列区别，第二问丢分

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 不满足叠加原理，输出与初始条件、输入幅值都有关
• 可能出现自持振荡即极限环
• 响应可能对初始条件敏感，出现跳跃谐振
• 线性系统的稳定性概念需要推广为局部稳定性

步骤

• 确认系统含明显非线性环节
• 判断该非线性是本质非线性还是可线性化的弱非线性
• 按非线性分析方法选择描述函数法或相平面法

通用考法

• 本卷考过如何区分线性系统与非线性系统
• 本卷考过列举线性系统与非线性系统的主要区别
• 说明非线性系统与线性系统的本质差别
• 指出同步振荡、跳跃谐振等特有现象
• 判断某系统应选用哪种分析方法

常见易错

• 把非线性环节线性化后直接沿用线性理论的全部结论
• 认为非线性系统一定不稳定

二由微分方程组建结构图求传函20 分#

思路

• 方程组逐个取拉氏变换写成环节，按变量传递关系连成结构图，再用梅森公式分别求输入与扰动两路传函

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由微分方程组先画结构图再用梅森公式求传递函数

本卷实例

• 关键一步：先把每个方程写成输出等于增益乘输入的环节形式
• 关键一步：再按中间变量的传递关系连结构图，找前向通路与回路
• 中间结果：结构图含两条前向通路，各回路均互相接触
• 卡点：中间变量漏消一个，分母阶次就少 1

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由微分方程组先画结构图再用梅森公式求传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求输入与扰动分别作用下的输出传递函数

本卷实例

• 关键一步：求扰动传函时把参考输入置零，两路分别用梅森公式
• 关键一步：两路共用同一特征多项式，前向通路不同
• 中间结果：扰动到输出的前向通路与输入到输出不同
• 卡点：求对扰动的传函时没把参考输入置零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求输入与扰动分别作用下的输出传递函数
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

三结构图与阶跃响应反求参数20 分#

思路

• 先由结构图写闭环传函并与二阶标准形对比，再由阶跃响应曲线读超调量与峰值时间反求三个参数

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由单位阶跃响应曲线反求系统参数 a、b、K

本卷实例

• 关键一步：由曲线读出超调量与峰值时间，联立 ξ 与 ωn 两个方程
• 关键一步：再把闭环传函与二阶标准形对比解出其余参数
• 中间结果：闭环增益含 1/b 因子，读稳态值时要先折算
• 卡点：结构图与响应曲线均为扫描图，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由单位阶跃响应曲线反求系统参数 a、b、K
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 把闭环传递函数化成二阶标准形式求 ξ 与 ωn

本卷实例

• 关键一步：把分母写成 s² 加 2ξωn s 加 ωn² 后系数一一对应
• 中间结果：一次项系数对应 2ξωn，常数项对应 ωn²
• 卡点：未把 s² 项系数归一化就直接读 ξ

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过把闭环传递函数化成二阶标准形式求 ξ 与 ωn
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

四根轨迹圆与最小阻尼比20 分#

思路

• 开环零点数等于极点数，根轨迹是一条圆；最小阻尼比对应从原点作圆的切线，再由幅值条件定 Kg 与性能趋势

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制 Kg(s+2)(s+3)/(s(s+1)) 的闭环根轨迹

本卷实例

• 关键一步：实轴根轨迹段按右侧零极点个数为奇数判断
• 关键一步：分离点由 1/d 加 1/(d+1) 等于 1/(d+2) 加 1/(d+3) 求
• 中间结果：零点数等于极点数，无渐近线，根轨迹为圆
• 卡点：实轴段零极点个数算错会画错整条轨迹

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制 Kg(s+2)(s+3)/(s(s+1)) 的闭环根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 求最小阻尼比与对应闭环极点
• 分析 Kg 变化对系统性能的影响

本卷实例

• 关键一步：作原点向根轨迹圆的切线，切点即最小阻尼比处
• 关键一步：由幅值条件求该点 Kg，再分段讨论动态与稳态性能趋势
• 中间结果：切点的实部与虚部同时决定 ξ 与闭环极点
• 中间结果：Kg 增大系统保持稳定，稳态误差减小
• 卡点：把最小阻尼比点误当成实轴分离点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过求最小阻尼比与对应闭环极点
• 本卷考过分析 Kg 变化对系统性能的影响
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

五非最小相位系统奈氏判据20 分#

思路

• 开环含右半平面零点与右半平面极点，先画幅相曲线，再数 P 与包围圈数用奈氏判据判稳

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 绘制给定开环传递函数的幅相频率特性曲线

本卷实例

• 关键一步：由零极点分布定起点终点的幅值与相角
• 关键一步：再令虚部为零求曲线与负实轴的交点
• 中间结果：开环零点在右半平面，相角贡献与左半平面反号
• 卡点：把右半平面零点当左半平面算相角，曲线形状全错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过绘制给定开环传递函数的幅相频率特性曲线
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数 P，再数曲线包围临界点的净圈数 N
• 关键一步：按 Z 等于 P 减 2N 判断闭环右半平面极点数
• 中间结果：开环有一个右半平面极点，P 为 1
• 卡点：P 数错结论就反，包围圈数与方向不能搞反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过没有先数开环右半平面极点数 P
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

六反馈校正的误差与裕度20 分#

思路

• 由图读开环增益与转折频率；第 1 问求校正前速度误差系数得稳态误差，第 2 问求校正后开环传函，第 3 问读截止频率求相位裕度

反馈校正与复合控制 系统校正

本卷考法

• 由反馈校正系统方框图与对数幅频特性求校正后开环传函

本卷实例

• 关键一步：把小闭环等效后与大环串联，按等效变换求校正后开环传函
• 中间结果：校正后低频段斜率为负 20dB/dec，含三个转折频率
• 卡点：反馈校正与串联校正的等效关系别混，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 反馈校正可改变被包围环节的特性，抑制参数波动
• 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
• 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
• 前馈不改变闭环稳定性，可与反馈叠加使用

步骤

• 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
• 写出等效后的传递函数
• 按不变性原理列写前馈补偿器条件
• 求解补偿器并校验可实现性

通用考法

• 本卷考过由反馈校正系统方框图与对数幅频特性求校正后开环传函
• 设计反馈校正装置改善被包围环节
• 求前馈补偿器实现不变性
• 分析复合控制对稳态误差的作用

常见易错

• 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分，不可实现却直接采用
• 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求校正前系统单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由对数幅频低频段高度定开环增益，再求速度误差系数
• 关键一步：单位斜坡输入下稳态误差等于速度误差系数倒数
• 中间结果：低频段延长线与零分贝线交点的频率等于开环增益
• 卡点：把开环增益直接当成速度误差系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求校正前系统单位斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正后系统的穿越频率与相位裕度

本卷实例

• 关键一步：由幅频曲线读剪切频率，再代入相频求相角裕度
• 中间结果：相频由各典型环节相角逐项累加得到
• 卡点：剪切频率与相位穿越频率别用反，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正后系统的穿越频率与相位裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

七非线性环节串联与典型化20 分#

思路

• 两非线性环节串联，先按工作条件合并成一个等效描述函数，再把结构图化简为典型非线性系统

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求两非线性环节串联后的等效描述函数

本卷实例

• 关键一步：先比较第一个环节的输出范围与第二个环节的死区
• 关键一步：满足条件时按输入输出关系写出合并后的等效描述函数
• 中间结果：第一个环节幅值不小于第二个死区时系统才能正常工作
• 卡点：漏掉正常工作条件，输出恒为零的工况不能丢，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求两非线性环节串联后的等效描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

典型非线性特性及其影响 非线性系统

本卷考法

• 把含多个非线性环节的结构图化简为典型结构

本卷实例

• 关键一步：把线性部分等效成一个传函，非线性部分合并成一个环节
• 中间结果：化简后成为标准描述函数法可用结构
• 卡点：线性与非线性两部分位置颠倒，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 饱和特性降低等效增益，可能引起系统不稳定或自振
• 死区特性使小信号时增益为零，产生稳态误差
• 间隙特性引起相位滞后，导致波形畸变与自振
• 继电特性使系统出现持续振荡并可能产生颤振

步骤

• 识别非线性环节类型
• 写出其描述函数或分段数学表达式
• 分析其对等效增益与稳定性的影响

通用考法

• 本卷考过把含多个非线性环节的结构图化简为典型结构
• 分析饱和或死区对系统性能的影响
• 求典型非线性的描述函数表达式
• 说明间隙为何容易引起自振

常见易错

• 认为饱和总是使系统更稳定
• 忽略死区在原点附近造成的小信号失效

公式

八采样系统脉冲传函与Z变换20 分#

思路

• 图 a 求脉冲传递函数，图 b 求输出信号的 Z 变换，查 Z 变换表并注意采样开关位置

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求图 a 采样系统的脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按采样开关位置分段，把连续环节连同零阶保持器一起离散化
• 中间结果：含零阶保持器时先乘 1 减 e 的负 Ts 次幂再除以 s
• 卡点：把无采样开关隔开的连续环节直接相乘，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求图 a 采样系统的脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 求图 b 系统输出信号的 Z 变换

本卷实例

• 关键一步：先写出输出与输入的脉冲传函关系，再逐项查 Z 变换表
• 中间结果：各项需先化成表中标准形式再查表
• 卡点：指数里的采样周期 T 不能漏，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过求图 b 系统输出信号的 Z 变换
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 本卷考过把 z 变换结果中的 e 的负 aT 次幂写成 e 的负 a 次幂
• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式