1第1题 微分方程组绘制结构图与稳定K范围#
思路
- 先把微分方程组逐式整理成 s 域代数关系，按信号流向画结构图；用梅森公式写出闭环特征式，列劳斯表由首列全正求使系统稳定的 K 范围。
梅森增益公式与信号流图
传递函数
本卷考法
- 由微分方程组画结构图并用梅森公式写特征式
本卷实例
- 关键一步：把各微分方程整理成 s 域后按信号流向连线
- 中间结果：回路 L1、L2 与特征式 Δ=1-L1-L2
- 卡点：结构图未读图，反馈极性与连线需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过由微分方程组画结构图并用梅森公式写特征式
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 列劳斯表判断闭环系统稳定性
本卷实例
- 关键一步：把闭环特征式按降幂排列后列劳斯表
- 中间结果：首列含 K 的代数式必须全部大于零
- 卡点：系数有缺项时不补零就直接套劳斯判据
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过列劳斯表判断闭环系统稳定性
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
参数稳定域的确定
稳定性分析
本卷考法
- 由首列不等式求稳定 K 范围
本卷实例
- 关键一步：取劳斯表首列各不等式的交集得稳定范围
- 中间结果：稳定边界对应首列元素恰为零的临界 K
- 卡点：只保留部分不等式而漏掉其他约束
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳定条件是一组关于参数的不等式
- 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
- 稳定域是不等式组的交集
步骤
- 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
- 逐个解不等式并取交集
- 检查端点是否为临界稳定
通用考法
- 本卷考过由首列不等式求稳定 K 范围
- 求使系统稳定的参数上界或下界
- 判断某参数取值是否满足稳定要求
- 比较不同参数对稳定域大小的影响
常见易错
- 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
- 取交集时把端点是否包含搞错
公式