1一、系统线性定常性判断与线性化15 分#
思路
- 把微分方程整理成输入输出的线性组合形式，按是否满足叠加原理判断线性定常性，再通过变量变换消除恒定项使其线性化。
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 由微分方程判断系统线性定常性并说明理由
本卷实例
- 关键一步：检查方程中是否含输入输出的恒定常数项
- 中间结果：存在恒定项时叠加原理不成立即非线性
- 卡点：只看方程阶次就断言系统线性
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过由微分方程判断系统线性定常性并说明理由
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
非线性模型的线性化
建模与机电系统
本卷考法
- 通过变量变换把含恒定项的方程化为线性
本卷实例
- 关键一步：引入平衡工作点偏差变量消去常数项
- 中间结果：以偏差量表示后方程化为线性定常形式
- 卡点：未先求平衡点就直接作线性化展开
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
- 线性化模型只在小偏差范围内有效
- 必须先求出平衡工作点
步骤
- 由静态方程求平衡工作点
- 在工作点处求偏导得到增量系数
- 写出以增量表示的线性化方程
通用考法
- 本卷考过通过变量变换把含恒定项的方程化为线性
- 对非线性微分方程在平衡点处线性化
- 写出小偏差线性化模型的传递函数
常见易错
- 未先求平衡点就直接展开
- 把增量符号去掉后与原始变量混用
公式