北京化工大学 841 控制原理 2015 年真题思维导图

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难度：中等　全卷九道大题，自控与现控并重：无源网络建模、由阶跃响应反求传函、双系统根轨迹、含参数稳定性与稳态误差、Bode 图与比例微分、状态转移矩阵反求、结构图状态空间、能控性分解与极点配置及离散化、非线性平衡点与李雅普诺夫稳定性。逐年卷首各题印本题满分 N 分（16/16/16/17×6，批量模板，§138）；分值按宝典同年段个性化印值 15/15/20/20/20/15/9/21/15 照填，合计150（§166）。

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一一、无源网络求传递函数15 分#

思路

• 图 1 为无源阻容网络，用电容的 s 域复阻抗与分压关系列写输出电压与输入电压之比

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 用复阻抗法求无源网络的传递函数

本卷实例

• 关键一步：把电容表示为 1/(sC) 的复阻抗，按分压原理列式
• 中间结果：分子为并联支路等效阻抗，分母为串联总阻抗
• 卡点：网络拓扑与元件连接方式需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过用复阻抗法求无源网络的传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

二二、由阶跃响应反求传函与稳定性15 分#

思路

• 单位反馈系统阶跃响应已知，先求单位脉冲响应，再由响应关系反求开环传递函数，最后用闭环特征方程判断稳定性（第 1、2 小问据答案段补）

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由单位阶跃响应求单位脉冲响应
• 由响应反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：零初始条件下单位脉冲响应等于阶跃响应的导数
• 中间结果：对阶跃响应拉氏变换并除以 1/s 得闭环传函，再由闭环与开环关系反解
• 卡点：响应表达式中含发散项，反求后须核实系统是否稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由单位阶跃响应求单位脉冲响应
• 本卷考过由响应反求开环传递函数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 由闭环特征方程用劳斯判据判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：由闭环传递函数分母写出特征方程并检查各项系数符号
• 中间结果：一次项或常数项出现负号时由劳斯判据必要条件即可判定
• 卡点：不能仅凭极点表达式手算，须落到劳斯表首列符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程用劳斯判据判断稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

三三、双系统根轨迹绘制与闭环极点相同20 分#

思路

• 对图 (a)(b) 两个结构图分别以 k、p 为变量写出等效开环并绘根轨迹；再由两系统闭环极点完全相同令特征多项式对应系数相等求解

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 分别以 k、p 为变量绘制根轨迹
• 确定分支数、实轴段与渐近线

本卷实例

• 关键一步：写出各系统的开环零极点并据法则逐条绘制
• 中间结果：两组结构图的开环极点分布不同，须分别判实轴段
• 卡点：结构图与等效开环推导需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过分别以 k、p 为变量绘制根轨迹
• 本卷考过确定分支数、实轴段与渐近线
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹的分离点并舍去不在轨迹上的根

本卷实例

• 关键一步：把特征方程整理成参数为 K 的显式后令 dK/ds 等于零
• 中间结果：解出的候选根须用实轴段判据筛选
• 卡点：不筛选会保留不在根轨迹上的伪分离点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹的分离点并舍去不在轨迹上的根
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由两系统闭环极点完全相同反求参数关系

本卷实例

• 关键一步：分别写两系统闭环特征多项式并令同次幂系数相等
• 中间结果：极点相同等价于两组特征多项式成比例且首项一致
• 卡点：只比较一个系数不能保证全部极点相同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由两系统闭环极点完全相同反求参数关系
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

四四、含参数系统的稳定性与稳态误差20 分#

思路

• 由结构图用梅森公式写闭环特征方程，用劳斯判据分析 β 符号对稳定性的影响，再由二阶参数分析 β<0 时动态性能，最后求阶跃与斜坡输入稳态误差

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 由含参数特征方程用劳斯判据分析参数符号的影响

本卷实例

• 关键一步：由信号流图写闭环特征方程并列出劳斯表首列
• 中间结果：参数只出现在一次项，首列符号随参数正负变化
• 卡点：符号判据不能只看二次项系数，须整列判正

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过由含参数特征方程用劳斯判据分析参数符号的影响
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环特征方程比对标准二阶形式求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程与标准二阶特征式逐项比对
• 中间结果：常数项对应自然频率平方，一次项系数对应二倍阻尼乘积
• 卡点：参数绝对值变化对阻尼比的影响方向易说反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程比对标准二阶形式求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 分别求单位阶跃与单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先确认闭环稳定，再对误差传递函数用终值定理
• 中间结果：阶跃输入误差为零，斜坡输入误差与参数比值有关
• 卡点：斜坡输入须带 s 平方因子，不能套用阶跃误差公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过分别求单位阶跃与单位斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

五五、Bode 图绘制与比例微分校正20 分#

思路

• 已知开环传递函数，绘对数渐近幅频特性并求相位裕度；串联比例微分环节后再绘并求相位裕度，最后说明其稳定性影响

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制含积分环节系统的开环对数渐近幅频特性

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率定积分环节个数，由指定频率处高度定增益
• 中间结果：各转折频率处按正负二十分贝每十倍频逐段改斜率
• 卡点：低频段起始高度与型别必须对应，不能只读交点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制含积分环节系统的开环对数渐近幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由截止频率处相角求相位裕度

本卷实例

• 关键一步：由幅频渐近线穿过零分贝求截止频率
• 中间结果：相位裕度等于一百八十度加该频率处的开环相角
• 卡点：截止频率与相位穿越频率不是同一频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由截止频率处相角求相位裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 说明串联比例微分环节对稳定性的改善

本卷实例

• 关键一步：比例微分环节在截止频率附近提供正相角
• 中间结果：加入环节后相位裕度由负转正，系统由不稳定变稳定
• 卡点：微分同时抬高幅频，须重新求截止频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过说明串联比例微分环节对稳定性的改善
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

六六、由零输入响应反求状态转移矩阵15 分#

思路

• 二阶系统 u 为零时给出两组初始条件下的状态响应，用状态响应等于状态转移矩阵乘初始状态联立解出状态转移矩阵，再令 t 等于零求系统矩阵

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由零输入状态响应反求状态转移矩阵

本卷实例

• 关键一步：把两组响应分别写成状态转移矩阵乘对应初始向量的形式
• 中间结果：状态转移矩阵各列由两组初始向量线性组合解出
• 卡点：两组初始向量须线性无关，否则不能唯一确定矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由零输入状态响应反求状态转移矩阵
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由状态转移矩阵在零时刻求系统矩阵

本卷实例

• 关键一步：对状态转移矩阵求导后令时间趋于零
• 中间结果：系统矩阵等于状态转移矩阵在零时刻的导数
• 卡点：把状态转移矩阵直接当成系统矩阵会漏掉求导

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由状态转移矩阵在零时刻求系统矩阵
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

七七、由方框图列写状态空间并判能控能观9 分#

思路

• 由系统方框图选取三个状态变量，列写状态空间表达式，再构造能控性与能观性矩阵判断

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由结构图选取状态变量列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：在各积分器输出端设状态变量并写其一阶导数方程
• 中间结果：输出方程由状态变量的线性组合给出
• 卡点：支路系数与耦合符号需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由结构图选取状态变量列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能控性矩阵与能观性矩阵判断能控能观

本卷实例

• 关键一步：分别由输入矩阵叠乘与输出矩阵叠乘构造两个判别矩阵
• 中间结果：矩阵行满秩或列满秩即完全能控或完全能观
• 卡点：两个判别矩阵的构造方式易混，勿写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能控性矩阵与能观性矩阵判断能控能观
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

八八、能控性分解、极点配置与离散化21 分#

思路

• 三阶系统先按能控性分解出能控子系统与不可控部分，对能控子系统用状态反馈把极点配置在负一，讨论全系统极点能否都配置，最后写出采样周期下的离散状态矩阵表达式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 对不完全能控系统按能控性进行结构分解

本卷实例

• 关键一步：先判能控性矩阵秩，再取线性无关列构造非奇异变换阵
• 中间结果：变换后系统呈能控与不可控分块形式
• 卡点：变换矩阵取法不唯一，须保证状态变换非奇异

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过对不完全能控系统按能控性进行结构分解
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 对能控子系统设计状态反馈使极点位于指定值

本卷实例

• 关键一步：由期望极点写期望特征多项式并与闭环特征多项式比较系数
• 中间结果：状态反馈只能改变能控子系统的极点
• 卡点：未判能控性直接配置极点会漏掉不可控模态

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过对能控子系统设计状态反馈使极点位于指定值
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

连续系统的离散化 离散控制系统

本卷考法

• 由连续系统矩阵求采样周期下的离散状态矩阵表达式

本卷实例

• 关键一步：写出状态转移矩阵与输入矩阵积分形式
• 中间结果：题目只要求表达式，不必代入算出具体数值
• 卡点：输入矩阵积分的上限为采样周期且须右乘输入矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
• 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
• 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变

步骤

• 求连续系统的状态转移矩阵
• 把采样周期代入得到离散状态矩阵
• 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
• 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应

通用考法

• 本卷考过由连续系统矩阵求采样周期下的离散状态矩阵表达式
• 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
• 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
• 计算采样点上的状态与输出序列

常见易错

• 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
• 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵

公式

九九、非线性系统平衡点与李雅普诺夫稳定性15 分#

思路

• 非线性二阶微分方程先选状态变量写状态空间表达式，令导数为零求全部平衡点，再在平衡点处线性化并按特征值判断稳定性

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由二阶非线性微分方程写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：令第一个状态为位移、第二个状态为速度化为一阶方程组
• 中间结果：状态方程右端保留非线性项
• 卡点：状态变量个数须与方程阶数一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由二阶非线性微分方程写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

非线性模型的线性化 建模与机电系统

本卷考法

• 在平衡点处对非线性模型线性化

本卷实例

• 关键一步：先求平衡点再在平衡点处求偏导构成雅可比矩阵
• 中间结果：线性化矩阵的元素为非线性函数在平衡点处的偏导
• 卡点：未先求平衡点就展开会得到错误的线性化模型

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
• 线性化模型只在小偏差范围内有效
• 必须先求出平衡工作点

步骤

• 由静态方程求平衡工作点
• 在工作点处求偏导得到增量系数
• 写出以增量表示的线性化方程

通用考法

• 本卷考过在平衡点处对非线性模型线性化
• 对非线性微分方程在平衡点处线性化
• 写出小偏差线性化模型的传递函数

常见易错

• 未先求平衡点就直接展开
• 把增量符号去掉后与原始变量混用

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 按李雅普诺夫意义判断各平衡点稳定性

本卷实例

• 关键一步：由线性化矩阵特征值实部符号判断平衡点类型
• 中间结果：实部全负为渐近稳定，存在正实部则为不稳定
• 卡点：临界情形线性化判据失效，需另构造李雅普诺夫函数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过按李雅普诺夫意义判断各平衡点稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式