北京化工大学 841 控制原理 2019 年真题思维导图

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难度：中等　全卷七道大题，覆盖信号流图求传函、含内反馈系统的稳定性与稳态误差、状态图建模、根轨迹与最小阻尼比、稳定裕度与串联超前校正、能控能观与观测器、采样系统脉冲传函与稳定域。卷首七题均印本题满分 N 分，属已被证伪的批量模板印法。

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一一、由信号流图求闭环传递函数#

思路

• 图1为多回路信号流图，用梅森增益公式写各回路、前向通路与余子式后求总传函

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森增益公式求信号流图的闭环传函

本卷实例

• 关键一步：先找出全部回路并判断两两是否接触
• 中间结果：全部回路均接触时特征式只含各回路增益项
• 卡点：回路漏计会让特征式少项，结论跟着错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森增益公式求信号流图的闭环传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

二二、二阶系统稳定性与稳态误差系数#

思路

• 图2为含内反馈Kf的系统，写开环与闭环传函分析其稳定性影响，求静态误差系数，再在Kf=0.5时求阶跃与加速度输入的稳态误差

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据分析内反馈系数对系统稳定性的影响

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程检查一次项与常数项符号
• 中间结果：二阶系统稳定的充要条件是两个系数均为正
• 卡点：内反馈同时影响一次项与常数项，须联立看

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据分析内反馈系数对系统稳定性的影响
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 求系统的静态位置、速度与加速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：由开环传函数积分环节个数以定系统型别
• 中间结果：零型系统的速度与加速度误差系数均为零
• 卡点：误差系数由开环传函定，不能用闭环传函算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过求系统的静态位置、速度与加速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求阶跃与加速度输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：按型别判断输入能否被跟踪再取误差极限
• 中间结果：零型系统跟踪加速度信号时误差趋于无穷
• 卡点：未判稳就取极限会得到无意义结果

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求阶跃与加速度输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

三三、由状态图求传函并列写状态空间#

思路

• 由图3状态图用拉氏变换列写中间变量关系求系统传函，再选状态变量写状态空间表达式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由状态图选状态变量列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：在各积分器输出端设状态并写其一阶导数
• 中间结果：输出方程由状态量与输入量的组合给出
• 卡点：支路系数与耦合符号需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由状态图选状态变量列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态图写系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：用梅森公式或消元法由结构图求传函
• 中间结果：传函分母对应状态矩阵的特征多项式
• 卡点：须先消去中间变量再写输入输出关系

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态图写系统传递函数
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

四四、根轨迹绘制与最小阻尼比参数#

思路

• 对给定开环传函画根轨迹，再由阻尼比最小的条件（阻尼角最大）求切点处的闭环极点与增益

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则画出给定开环传函的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：写开环零极点并判实轴段与渐近线
• 中间结果：分离点由dK/ds为零结合实轴段筛选
• 卡点：分离点方程的解须代回实轴段检验

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则画出给定开环传函的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹的分离点坐标

本卷实例

• 关键一步：把特征方程整理成增益的显式后对s求导
• 中间结果：分离点满足dK/ds等于零
• 卡点：不在根轨迹上的根必须舍去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹的分离点坐标
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由最小阻尼比求闭环极点与增益

本卷实例

• 关键一步：阻尼角最大对应阻尼比线与轨迹相切
• 中间结果：由切点几何关系求出闭环极点坐标
• 卡点：切点须落在根轨迹上，增益回代特征方程求

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由最小阻尼比求闭环极点与增益
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

五五、稳定裕度与串联超前校正#

思路

• 对给定开环传函求相角裕度与幅值裕度，再串联超前校正环节后重求，并比较校正前后的裕度变化

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求开环系统的相角裕度与幅值裕度

本卷实例

• 关键一步：由幅频条件定截止频率、由相频条件定穿越频率
• 中间结果：相角裕度取180度加截止频率处相角
• 卡点：两个频率用反会让裕度结论整体出错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求开环系统的相角裕度与幅值裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 分析串联超前校正对相角裕度与稳定性的改善

本卷实例

• 关键一步：校正环节在截止频率附近提供超前相角
• 中间结果：校正后截止频率提高、相角裕度由负转正
• 卡点：超前环节会抬高幅频，须重新求截止频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过分析串联超前校正对相角裕度与稳定性的改善
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

六六、能控能观、状态反馈与全维观测器#

思路

• 先判能控能观，再求使系统不完全能观的状态反馈阵，随后作极点配置、设计全维观测器并求闭环稳态误差

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断能控能观性并分析状态反馈对能观性的影响

本卷实例

• 关键一步：构造能控与能观判别阵并计算秩
• 中间结果：状态反馈不改变能控性但会改变能观性
• 卡点：使能观判别阵降秩的反馈阵由行列式为零解出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断能控能观性并分析状态反馈对能观性的影响
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈把闭环极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：由期望极点写特征多项式并与闭环特征式比较系数
• 中间结果：比较同次幂系数得到反馈阵各元素
• 卡点：配置前须先验证系统能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈把闭环极点配置到指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计全维状态观测器把观测器极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：由观测器特征多项式与期望式比较系数定增益阵
• 中间结果：观测器增益阵由输出误差反馈支路给出
• 卡点：观测器极点应比状态反馈极点更远离虚轴

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计全维状态观测器把观测器极点配置到指定位置
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求状态反馈后系统在单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由闭环传函写误差传函再用终值定理
• 中间结果：稳态误差由闭环直流增益与输入幅度共同定
• 卡点：负的稳态误差表示输出超调过稳态值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求状态反馈后系统在单位阶跃输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

七七、采样系统脉冲传函、稳定性与稳态误差#

思路

• 由图4结构图求开环与闭环脉冲传函，用特征根判稳定性，再求单位阶跃输入下的稳态误差

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求采样系统的开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：由零阶保持器与对象求开环脉冲传函
• 中间结果：闭环脉冲传函为开环比上1加开环
• 卡点：零阶保持器须计入开环脉冲传函

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求采样系统的开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环特征根判断离散系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：解闭环特征方程并检查特征根模长
• 中间结果：特征根落在单位圆内时系统稳定
• 卡点：稳定条件是模小于1，不是实部小于零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环特征根判断离散系统稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由误差脉冲传函用终值定理求极限
• 中间结果：一阶系统阶跃输入下稳态误差为有限值
• 卡点：未判稳就用终值定理结果不可信

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统单位阶跃输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式