北京工业大学 821 自动控制原理 2023 年真题思维导图

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难度：中等　12 道大题覆盖无源网络建模、多输入系统输出、二阶系统性能指标、船舶航向扰动补偿、稳定与精度范围、根轨迹主导极点与滞后校正、由幅频图反求传函、校正前后幅频与相角裕量、校正装置反求、校正性能分析、非线性奇点与等倾线、采样系统闭环脉冲传函与判稳。

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1一、无源网络的传递函数10 分#

思路

• 由电阻电容网络按节点电压或复阻抗分压列方程，整理成输出电压对输入电压的传递函数。题面含图未读图。

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由无源电阻电容网络求传递函数

本卷实例

• 关键一步：按节点列电流方程或写复阻抗分压比
• 中间结果：传函分子含一阶微分项、分母含一阶惯性项
• 卡点：网络图未读图，元件拓补需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过由无源电阻电容网络求传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

2二、多输入系统的输出表达式10 分#

思路

• 对给定输入与扰动分别用梅森公式求通道传函，回路与特征式相同，再叠加写输出表达式。题面含图未读图。

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求给定输入与扰动分别作用时的输出并叠加

本卷实例

• 关键一步：分别令另一输入为零写单通道传函
• 中间结果：输出为给定项与扰动项之和，共用同一特征式
• 卡点：未把另一输入置零，结构图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求给定输入与扰动分别作用时的输出并叠加
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式写回路增益与特征式

本卷实例

• 关键一步：数出两条单独回路并判断互不接触
• 中间结果：特征式等于一加两条回路增益之和
• 卡点：把前向通路增益与回路增益混淆

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式写回路增益与特征式
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

3三、二阶系统性能指标10 分#

思路

• 由微分方程写传递函数并化标准二阶，读阻尼比与自然频率后代入公式求超调量与调节时间。

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 由线性微分方程写系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：零初始下对方程两边取拉氏变换
• 中间结果：传函分母系数与微分方程系数一致
• 卡点：忽略零初始条件，把初值带进变换结果

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过由线性微分方程写系统传递函数
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由传递函数求无阻尼自然频率与阻尼比

本卷实例

• 关键一步：把分母首项系数归一化后与标准式对照
• 中间结果：由常数项和一次项分别得自然频率与阻尼比
• 卡点：未归一化就直接读系数导致自然频率错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由传递函数求无阻尼自然频率与阻尼比
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比与自然频率计算超调量与调节时间

本卷实例

• 关键一步：套超调量公式与 5% 误差带的调节时间公式
• 中间结果：超调量与调节时间由同一对参数决定
• 卡点：调节时间的两种误差带系数取反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由阻尼比与自然频率计算超调量与调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

4四、船舶航向扰动影响与补偿15 分#

思路

• 先求扰动到输出的传函，由终值定理算风力造成的稳态航向偏差；再求给定通道传函，设计舵输入使偏差归零。题面含图未读图。

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求持续风力扰动引起的稳态输出偏差

本卷实例

• 关键一步：令给定为零，写扰动到输出的传函
• 关键一步：由终值定理取零频极限
• 中间结果：稳态偏差正比于扰动幅值与扰动通道低频增益
• 卡点：把扰动引起的输出偏差与误差传函混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求持续风力扰动引起的稳态输出偏差
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求扰动通道与给定通道各自的传递函数

本卷实例

• 关键一步：两通道特征式相同，分子只差注入点到输出的通路
• 中间结果：给定通道传函含方向舵增益
• 卡点：结构图未读图，扰动注入点需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求扰动通道与给定通道各自的传递函数
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

减小稳态误差的措施 稳态误差

本卷考法

• 设计附加控制输入使扰动引起的偏差归零

本卷实例

• 关键一步：令给定通道与扰动通道的稳态输出大小相等方向相反
• 中间结果：附加输入为与扰动同型、幅值按稳态增益折算的信号
• 卡点：只做定性说明而未给可实现的控制量形式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 提高开环增益可减小有差系统的误差，但会削弱稳定性
• 增加积分环节可提高型别，代价是相位滞后与超调增大
• 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
• 采用扰动补偿可提高扰动不变性

步骤

• 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
• 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
• 校验补偿后系统仍然稳定
• 重新计算稳态误差确认达标

通用考法

• 本卷考过设计附加控制输入使扰动引起的偏差归零
• 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
• 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
• 说明为何单纯提高增益不可行

常见易错

• 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
• 把增加积分环节的影响单一化，忽略超调

公式

5五、稳定范围与稳态误差范围15 分#

思路

• 由开环传函写闭环特征方程，列劳斯表求稳定增益范围；再按斜坡输入稳态误差要求解增益范围并与稳定范围取交集。

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求含右半平面零点的系统稳定增益范围

本卷实例

• 关键一步：整理闭环特征方程后列劳斯表并令首列同号
• 中间结果：由两个首列不等式得增益的上下界
• 卡点：分子含一阶反号项，展开特征方程时符号写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求含右半平面零点的系统稳定增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 确定同时满足稳定与精度要求的增益范围

本卷实例

• 关键一步：把稳态误差不等式与稳定范围取交集
• 中间结果：误差要求给出增益下界，稳定要求给出上界
• 卡点：取交集时端点是否包含弄错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过确定同时满足稳定与精度要求的增益范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求斜坡输入下稳态误差并反求增益范围

本卷实例

• 关键一步：先判稳再由终值定理写误差与增益的关系
• 中间结果：稳态误差与开环增益成反比
• 卡点：由误差不等式反解增益后未与稳定范围取交集

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求斜坡输入下稳态误差并反求增益范围
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

6六、根轨迹与主导极点、滞后校正15 分#

思路

• 先按法则画根轨迹；由给定根轨迹点定增益并用韦达定理求第三个极点，验证主导极点后算动态指标与稳态误差，不满足则设计滞后校正。题面含图未读图。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画三个开环极点的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：求渐近线交点与夹角，并求根轨迹与虚轴的交点
• 中间结果：三支分别起于零与两个负实极点，均趋于无穷远
• 卡点：分离点方程求解后未筛选在根轨迹上的根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画三个开环极点的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹上给定点反求增益并求其余闭环极点

本卷实例

• 关键一步：把给定共轭点代入特征方程求增益
• 关键一步：用韦达定理由根和求第三个极点
• 中间结果：第三个极点实部远大于共轭点，可作远极点忽略
• 卡点：未验证第三个极点是否可忽略就直接降阶

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹上给定点反求增益并求其余闭环极点
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• 用主导极点把三阶系统近似为二阶再估指标

本卷实例

• 关键一步：比较远极点与共轭极点的模长比值
• 关键一步：由共轭极点读阻尼比与自然频率
• 中间结果：近似后算出超调量与调节时间并与指标比较
• 卡点：忽略闭环零点对超调量的放大作用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过用主导极点把三阶系统近似为二阶再估指标
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位斜坡输入下的稳态误差并判断是否达标

本卷实例

• 关键一步：由开环增益写速度误差系数再取倒数
• 中间结果：稳态误差大于给定上限，动态达标而精度不达标
• 卡点：只核动态指标而漏核稳态误差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位斜坡输入下的稳态误差并判断是否达标
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 为满足稳态误差要求设计串联滞后校正装置

本卷实例

• 关键一步：按误差放大倍数确定滞后网络的衰减比
• 关键一步：保持剪切频率不变定时间常数
• 中间结果：校正在低频段抬高增益而在中频段几乎不改变裕度
• 卡点：结构图未读图，原系统环节需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过为满足稳态误差要求设计串联滞后校正装置
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

7七、由幅频曲线反求传函与稳态误差15 分#

思路

• 由幅频图低频段斜率与零分贝线读型别与增益，按转折频率写传函，再由幅值条件估截止频率，最后按输入各分量求稳态误差。题面含图未读图。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由开环对数幅频特性曲线写系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率定积分环节个数
• 关键一步：由某频率处的幅值等式反求增益
• 中间结果：传函由两个积分环节与两个一阶环节组成
• 卡点：把折线近似结果当精确值，截止频率读取偏差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环对数幅频特性曲线写系统传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 按输入信号各分量分别求稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由系统型别判断阶跃与斜坡分量的稳态误差
• 关键一步：对二次分量单独求加速度误差
• 中间结果：总稳态误差由输入中最高次分量决定
• 卡点：组合输入时漏掉某一分量的误差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过按输入信号各分量分别求稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

8八、校正前后幅频与相角裕量15 分#

思路

• 由校正前幅频图写开环传函并求截止频率与相角裕量；由校正后幅频差异定校正装置，再求校正后截止频率与相角裕量。题面含图未读图。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正前幅频曲线反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率为负四十说明含两个积分环节
• 中间结果：传函为两个积分环节串联一个惯性环节
• 卡点：把折线交接点频率误当增益折点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正前幅频曲线反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前后的截止频率与相角裕量

本卷实例

• 关键一步：由幅频为一解截止频率，再代入相频求裕量
• 中间结果：校正后截止频率右移，相角裕量由负转正
• 卡点：相频中两个积分环节的相位漏算其一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前后的截止频率与相角裕量
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 由校正前后幅频差异确定超前校正装置

本卷实例

• 关键一步：用校正后传函除以校正前传函得校正装置
• 中间结果：校正装置极点频率高于零点频率，属超前网络
• 卡点：把超前网络的零点极点顺序写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过由校正前后幅频差异确定超前校正装置
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

9九、由幅频图反求校正前后传函10 分#

思路

• 由校正前幅频图与校正装置幅频图分别读型别、增益与转折频率，写校正前传函后相乘得校正后传函，再画校正后幅频。题面含图未读图。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正前幅频曲线与校正装置幅频曲线反求传递函数

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率与高度分别定校正前传函与校正装置
• 中间结果：校正装置为带一阶微分与惯性环节的网络
• 卡点：校正装置图未读图，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正前幅频曲线与校正装置幅频曲线反求传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 作出校正后系统的开环对数幅频特性

本卷实例

• 关键一步：把校正前折线与校正装置折线逐段叠加
• 中间结果：校正后低频段抬高、中频段斜率变化
• 卡点：叠加时忘记把校正装置的零分贝高度计入

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过作出校正后系统的开环对数幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

10十、校正前后传函与性能分析15 分#

思路

• 由校正前后幅频图分别写开环传函，相除得校正装置并画其伯德图，再从截止频率、相角裕度与高频衰减比较校正效果。题面含图未读图。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正前后的对数幅频特性曲线分别写传递函数

本卷实例

• 关键一步：分别由低频段斜率定型别、由穿越点定增益
• 中间结果：校正前含两个积分环节，校正后少一个积分环节
• 卡点：两张曲线低频段不同，易把型别读混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正前后的对数幅频特性曲线分别写传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 定量分析校正后系统在快速性与稳定性上的改善与代价

本卷实例

• 关键一步：比较校正前后的截止频率与相角裕度
• 中间结果：截止频率提高使响应加快，裕度降低使相对稳定性下降
• 卡点：只讲响应变快而漏掉高频噪声抑制的改善

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过定量分析校正后系统在快速性与稳定性上的改善与代价
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 画出校正装置的伯德图

本卷实例

• 关键一步：把校正装置写成增益乘若干个一阶环节的形式
• 中间结果：伯德图由低频段高度与两个转角频率确定
• 卡点：校正装置图未读图，低频高度需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过画出校正装置的伯德图
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

11十一、非线性系统的奇点与等倾线10 分#

思路

• 把二阶非线性微分方程化为相平面方程，令导数为零求奇点并线性化判类型，再令相轨迹斜率为常数写等倾线方程。

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 确定非线性系统的奇点、判断类型并写等倾线方程

本卷实例

• 关键一步：令相轨迹斜率式中分子分母同时为零求奇点
• 关键一步：在奇点处线性化由特征根判类型
• 中间结果：相轨迹斜率为常数时得到等倾线方程
• 卡点：只求出一个奇点，漏掉另一个奇点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过确定非线性系统的奇点、判断类型并写等倾线方程
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

12十二、采样系统闭环脉冲传函与稳定性10 分#

思路

• 由连续环节求开环和闭环脉冲传函，再解闭环特征方程判单位圆内外定稳定性。题面含图未读图。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求采样系统的闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：分别求前向通道与反馈通道的 z 变换
• 关键一步：按采样开关位置写闭环脉冲传函
• 中间结果：闭环脉冲传函分子分母均为 z 的低阶多项式
• 卡点：把两个有采样开关隔开的连续环节直接相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求采样系统的闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：解闭环特征方程求特征根模长
• 中间结果：特征根位于单位圆内则系统稳定
• 卡点：把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散系统的稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式