1、2、3、4、5一、简答：最小实现、状态转移与对偶#
思路
- 五个独立小问：最小实现的条件；矩阵指数乘积 e^At·e^Bt 与 e^(A+B)t 是否恒等；二阶欠阻尼系统调节时间定义及阻尼比与超调量关系（源文注同2020年一(1)）；180°与0°根轨迹实轴段判据；对偶原理及其与原系统能控能观性的关系。
由传递函数写状态空间表达式
状态空间分析
本卷考法
- 说明最小实现的定义与条件
本卷实例
- 关键一步：先要求实现能控且能观，再在同类实现中取维数最低者
- 中间结果：最小实现是传函矩阵维数最低的能控且能观实现
- 卡点：把能控能观与最小实现混为一谈，缺任一性都不合格
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过说明最小实现的定义与条件
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
公式
状态转移矩阵
状态空间分析
本卷考法
- 判断矩阵指数乘积与和矩阵指数是否恒等
本卷实例
- 关键一步：把两矩阵指数乘积的恒等条件归结为 A 与 B 是否可交换
- 中间结果：仅当 AB 等于 BA 时恒等成立，否则一般不成立
- 卡点：误用标量指数律；矩阵乘法次序不可交换
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过判断矩阵指数乘积与和矩阵指数是否恒等
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 叙述调节时间定义并写阻尼比与超调量关系
本卷实例
- 关键一步：以响应进入并保持在终值误差带内的最短时间定义调节时间
- 中间结果：超调量随阻尼比增大而减小，由指数式决定
- 卡点：误差带取 2% 还是 5% 要按题意；超调量公式漏乘 100%
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过叙述调节时间定义并写阻尼比与超调量关系
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
根轨迹的绘制法则
根轨迹法
本卷考法
- 叙述 180°与 0°根轨迹实轴段判据
本卷实例
- 关键一步：数某点右侧开环实数零极点个数之和，按奇偶判断实轴段
- 中间结果：180°根轨迹取奇数，0°根轨迹取偶数
- 卡点：两种判据的奇偶条件写反；零极点计数漏数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过叙述 180°与 0°根轨迹实轴段判据
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
广义根轨迹与参数根轨迹
根轨迹法
本卷考法
- 比较零度根轨迹与 180°根轨迹的相角条件
本卷实例
- 关键一步：把正反馈或参数为正的情形归为零度根轨迹，相角条件取 0°
- 中间结果：零度根轨迹与 180°根轨迹的实轴判据奇偶恰好相反
- 卡点：零度根轨迹仍沿用 180°相角条件；起点终点判断出错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
- 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
- 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
- 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
- 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
- 按常规根轨迹法则绘制
- 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
- 本卷考过比较零度根轨迹与 180°根轨迹的相角条件
- 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
- 绘制正反馈系统的零度根轨迹
- 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
- 整理时没有把参数完整地提到分子位置
- 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 叙述对偶原理并说明能控能观的对应关系
本卷实例
- 关键一步：把原系统 A 转置、B 与 C 互换且转置得到对偶系统
- 中间结果：对偶系统的能控性对应原系统能观性，反之亦然
- 卡点：只转置矩阵而不交换 B、C；对应关系写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过叙述对偶原理并说明能控能观的对应关系
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式