内蒙古大学 867 自动控制原理 2020 年真题思维导图

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难度：中等　9 题：电路建模、误差响应反求与动态指标、根轨迹定参数、稳态误差反求传函、采样系统判稳、描述函数法、双摆建模与信号流图、线性变换特征方程不变、离散状态能控性与控制序列

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一一、由电路图求传递函数#

思路

• 由两级 RC 网络电路列电流与电压方程，消中间变量求输出电压对输入电压的传递函数

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由含两个电容电阻的电路求电压传递函数

本卷实例

• 关键一步：按节点与回路列电流电压方程
• 中间结果：消去两个中间电流后得二阶传函
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过由含两个电容电阻的电路求电压传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 本卷考过复阻抗法把电容阻抗误写成电容乘 s
• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

二二、由误差响应求阻尼比、开闭环传函与稳态误差15 分#

思路

• 由误差响应反求误差传递函数并化为标准二阶形式读参数，再反推开闭环传函并用终值定理求稳态误差

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由给定的误差时间响应反求误差传递函数

本卷实例

• 关键一步：由误差响应的拉氏变换写误差传递函数
• 中间结果：分子分母化为标准二阶多项式形式
• 卡点：初始条件为零才可由响应直接写传函

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由给定的误差时间响应反求误差传递函数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 本卷考过未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由标准二阶特征方程读阻尼比与自然振荡频率

本卷实例

• 关键一步：对比标准二阶特征方程系数
• 中间结果：由一次项与常数项各给出一个参数
• 卡点：两式联立时结果取正根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由标准二阶特征方程读阻尼比与自然振荡频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记归一化二次项系数
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由闭环传函与误差响应求稳态误差

本卷实例

• 关键一步：对误差响应取极限或用终值定理求稳态误差
• 中间结果：时间响应两项均按指数衰减到零
• 卡点：须先确认极点均在左半平面

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由闭环传函与误差响应求稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

三三、根轨迹绘制、稳定范围与指定阻尼比求K20 分#

思路

• 开环为三重极点，画参数根轨迹求稳定 K 范围，再按阻尼比零点五确定 K 与闭环极点

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制三重开环极点下的参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：由特征方程写等效开环形式定极点与渐近线
• 中间结果：三条渐近线交于重极点处
• 卡点：分离点与虚轴交点都要在图上标出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制三重开环极点下的参数根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线夹角公式中的系数写错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由劳斯表与虚轴交点求稳定 K 范围

本卷实例

• 关键一步：令纯虚根代入特征方程求临界增益
• 中间结果：稳定范围为增益的一个开区间
• 卡点：临界增益处出现一对纯虚根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由劳斯表与虚轴交点求稳定 K 范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个频率值就下结论
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由指定阻尼比确定增益与三个闭环极点

本卷实例

• 关键一步：作等阻尼线与根轨迹求交点
• 中间结果：由交点的坐标反求增益
• 卡点：第三个实极点由根之和或特征方程给出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由指定阻尼比确定增益与三个闭环极点
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

四四、由稳态误差与闭环极点反求开环传递函数#

思路

• 由斜坡稳态误差为定值判定型别，设含一个积分环节的三阶开环，再由给定闭环极点与劳斯校核求参数

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由斜坡输入稳态误差为定值反求增益关系

本卷实例

• 关键一步：由误差为有限值判定开环含一个积分环节
• 中间结果：速度误差系数写成增益与常数项之比
• 卡点：按题给误差值列方程

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由斜坡输入稳态误差为定值反求增益关系
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过型别判断错误导致稳态误差公式用错
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由给定一对复数闭环极点写二次共轭因子

本卷实例

• 关键一步：由闭环极点构造二次因子
• 中间结果：三阶特征式分解为二次因子与实极点因子
• 卡点：实极点须由待定方程确定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由给定一对复数闭环极点写二次共轭因子
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过把开环增益误当闭环传函系数
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯表验证所得参数下系统稳定

本卷实例

• 关键一步：列出闭环特征方程的劳斯表
• 中间结果：首列全部为正时该组极点假设成立
• 卡点：所求实极点须落在左半平面

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯表验证所得参数下系统稳定
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过系数缺项时不补零直接套用判据
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

五五、采样控制系统判稳与稳定K范围15 分#

思路

• 由连续部分加零阶保持器求开环脉冲传函，针对 K 为 10 判断稳定性，再用朱利判据求稳定 K 范围

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由连续传函含零阶保持器求开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按部分分式分解后查 z 变换表求脉冲传函
• 中间结果：开环脉冲传函为 z 的二阶有理分式
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由连续传函含零阶保持器求开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过忘记把零阶保持器计入开环脉冲传函
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散系统稳定性并求使系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：写闭环特征方程并用朱利判据列约束
• 中间结果：稳定条件化为三个不等式取交集
• 卡点：特征方程系数随增益线性变化

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散系统稳定性并求使系统稳定的增益范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于一
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

六六、描述函数法判断自激振荡15 分#

思路

• 求线性部分的幅相特性与负倒描述函数，判断两曲线是否相交，若相交求自振频率与振幅

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法判断自振并求自振频率与振幅

本卷实例

• 关键一步：写负倒描述函数随振幅单调变化的直线
• 中间结果：由幅值条件与相角条件联立求交点
• 卡点：交点对应自振点的稳定判定须说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法判断自振并求自振频率与振幅
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 本卷考过画的是描述函数而不是负倒描述函数
• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

七七、双摆系统运动方程、传函与信号流图#

思路

• 对两摆列受力方程并线性化得运动方程组，拉氏变换求传递函数，再画结构图与信号流图

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 对双摆弹簧耦合系统列动力学方程并线性化

本卷实例

• 关键一步：分别对左右摆作受力分析并列角运动方程
• 中间结果：线性化后两方程通过刚度系数耦合
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过对双摆弹簧耦合系统列动力学方程并线性化
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 本卷考过阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由线性化运动方程组求角位移对力的传递函数

本卷实例

• 关键一步：对运动方程组取拉氏变换消去另一角位移
• 中间结果：传递函数分母为两个固有频率组合的二次式
• 卡点：方程组耦合使分母出现平方差结构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过由线性化运动方程组求角位移对力的传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 本卷考过消元时漏掉耦合项导致传递函数阶数降低
• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由运动方程关系画系统结构图与信号流图

本卷实例

• 关键一步：按变量间关系画出前向通路与反馈支路
• 中间结果：信号流图与结构图一一对应
• 卡点：耦合支路方向容易画反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由运动方程关系画系统结构图与信号流图
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路找漏或重复计数
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

八八、线性变换下特征方程不变性的证明10 分#

思路

• 对状态方程作非奇异线性变换，写出变换后的系统矩阵，用行列式乘法性质证明特征方程不变

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 对状态空间模型作非奇异线性变换并证特征方程不变（借位）

本卷实例

• 关键一步：令新状态为变换矩阵的逆乘原状态并代入状态方程
• 中间结果：新系统矩阵为相似变换形式
• 卡点：须说明变换矩阵非奇异才可逆

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过对状态空间模型作非奇异线性变换并证特征方程不变（借位）
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 本卷考过变换矩阵及其逆的插入位置写错
• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

九九、离散状态方程能控性与最小拍控制序列20 分#

思路

• 由离散状态方程写能控判别矩阵判断能控性，再按有限拍到达目标求控制序列与最小拍数

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断离散状态方程的能控性并求最小拍控制序列

本卷实例

• 关键一步：写能控判别矩阵并令其满秩
• 中间结果：由两拍状态方程联立解出控制序列
• 卡点：控制序列中各拍的求解顺序易写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断离散状态方程的能控性并求最小拍控制序列
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到前一阶矩阵就下结论
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式