华东交通大学 811 自动控制理论 2017 年真题思维导图

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难度：中等　8 道大题覆盖信号流图、组合输入稳态误差、二阶系统参数、根轨迹与极点配置、对数幅频特性反求、由幅相曲线反求二阶环节、结构图化简、离散系统与非线性系统；多题依赖原卷插图。

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一1信号流图求传递函数10 分#

思路

• 用梅森增益公式列全部回路、前向通路与两两不接触回路，写特征式后求指定输入输出比

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由信号流图用梅森公式求两节点间传递函数

本卷实例

• 关键一步：从输入节点到输出节点找全前向通路
• 中间结果：特征式由四条回路增益与一对不接触回路乘积组成
• 卡点：各回路相互接触关系决定余子式，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由信号流图用梅森公式求两节点间传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路找漏或重复计数
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

一2组合输入下的稳态误差10 分#

思路

• 判稳后按系统型别求各静态误差系数，再把组合输入分解为典型信号分量分别求误差并叠加

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 求静态位置、速度与加速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：先列劳斯表判断闭环是否稳定
• 中间结果：开环传函的积分环节个数决定系统型别
• 卡点：I 型系统的加速度误差系数为零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过求静态位置、速度与加速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求阶跃、斜坡与抛物线组合输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：把输入分解为常数项、斜坡项与抛物线项
• 中间结果：各分量误差分别由对应静态误差系数给出
• 卡点：抛物线分量在 I 型系统下误差为无穷大

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求阶跃、斜坡与抛物线组合输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过输入为组合信号时漏掉某一分量
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

一3结构图求阻尼比与自然频率10 分#

思路

• 由结构图写闭环传函，化为标准二阶形式后对比系数求阻尼比与自然振荡频率

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由结构图求阻尼比与无阻尼自然振荡频率

本卷实例

• 关键一步：由结构图化简出闭环传递函数
• 中间结果：闭环分母为 s² 加 4s 加 10
• 卡点：对比标准形式时 s² 项系数须归一，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由结构图求阻尼比与无阻尼自然振荡频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过把开环增益误当成闭环传递函数的系数
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

二等幅振荡与极点配置范围20 分#

思路

• 由特征方程列劳斯表求临界增益与振荡频率，再按无超调与极点位置要求求增益范围

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由劳斯表求根轨迹与虚轴交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：由特征方程列劳斯表并令首列为零
• 中间结果：临界增益对应根轨迹穿过虚轴的位置
• 卡点：振荡频率由辅助方程的纯虚根给出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由劳斯表求根轨迹与虚轴交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个 w 就下结论，漏掉另一组交点
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按根轨迹法则分析分离点与实轴段

本卷实例

• 关键一步：标出三个开环极点并画实轴上的根轨迹段
• 中间结果：渐近线交于实轴左侧一点，夹角为 ±60 度与 180 度
• 卡点：分离点由 dK/ds 为零求得并需取舍

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按根轨迹法则分析分离点与实轴段
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过实轴段判据中零极点个数算错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由闭环极点位置确定增益范围

本卷实例

• 关键一步：无超调要求闭环极点为实数，对应分离点之前的增益区间
• 中间结果：全部极点位于给定垂线左侧可用变量代换后列劳斯表判断
• 卡点：两问的增益范围端点不同，不可互相套用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由闭环极点位置确定增益范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

三由对数幅频特性求传函与相位裕量20 分#

思路

• 由低频段斜率与高度定型别与增益，由转折频率处斜率变化定零极点，再求幅值穿越频率与相位裕量

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由开环对数渐近幅频特性判断型别与增益

本卷实例

• 关键一步：由低频渐近线斜率确定积分环节个数
• 中间结果：由低频延长线在某一频率处的高度反求开环增益
• 卡点：转折频率处斜率变化量决定对应环节类型，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由开环对数渐近幅频特性判断型别与增益
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由转折频率写出开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：在转折频率处按斜率变化量添加一阶因子
• 中间结果：由一个超前转折与一个积分环节组成开环传函
• 卡点：零点与极点转折频率的顺序不能颠倒

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由转折频率写出开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求系统的相位裕量

本卷实例

• 关键一步：按中频段近似式令幅频等于一解出穿越频率
• 中间结果：穿越频率落在惯性环节转折频率之后
• 卡点：相位裕量由该频率处各环节相角累加得到

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求系统的相位裕量
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把幅值穿越频率与相位穿越频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

四由幅相曲线反求二阶环节15 分#

思路

• 由幅相曲线低频段高度定增益，由相位零点定自然频率，再解出阻尼比并对单位阶跃输入求响应

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由频率特性的低频高度与相位求环节参数

本卷实例

• 关键一步：由低频端幅值直接读出增益
• 中间结果：相位等于 -90 度处的频率即自然频率
• 卡点：另一频率点的幅值给出含阻尼比的方程，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由频率特性的低频高度与相位求环节参数
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由给定频率点幅值反求阻尼比

本卷实例

• 关键一步：把幅频表达式化为标准二阶形式
• 中间结果：自然频率代入另一频率点后只剩阻尼比待定
• 卡点：阻尼比取值要在零到一之间才符合振荡环节

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由给定频率点幅值反求阻尼比
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 求二阶系统单位阶跃响应

本卷实例

• 关键一步：由阻尼比与自然频率写出阶跃响应的时域表达式
• 中间结果：系统在欠阻尼下输出为衰减振荡形式
• 卡点：题面小问在源文被截断，据同册答案段还原为求阶跃响应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过求二阶系统单位阶跃响应
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过超调量公式中漏乘 100%
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

五根轨迹求闭环极点与阻尼比范围15 分#

思路

• 由根轨迹图读出开环零极点并写特征方程，再按给定振荡频率求闭环极点与增益，最后求阻尼比范围

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹的相角与幅值条件确定闭环极点

本卷实例

• 关键一步：由根轨迹图读出开环极点与零点位置
• 中间结果：设闭环极点为实部加虚部的形式代入特征方程
• 卡点：给定阻尼振荡频率时有两组对称解需分别保留

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过由根轨迹的相角与幅值条件确定闭环极点
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 本卷考过把相角条件的 180 度写成 0 度
• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹求满足条件的阻尼比范围

本卷实例

• 关键一步：由根轨迹圆的切线确定最小阻尼比对应的角
• 中间结果：阻尼比等于夹角余弦，角越小阻尼比越大
• 卡点：根轨迹为圆时切线位置决定最小阻尼比，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹求满足条件的阻尼比范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

六结构图化简求闭环传函15 分#

思路

• 按比较点与引出点的移动规则把交叉多回路结构图逐层化简，写出闭环传递函数

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 多回路结构图逐层化简

本卷实例

• 关键一步：先合并并联支路再化内环，逐步消去交叉反馈
• 中间结果：闭环分母由各回路增益与互不接触乘积组成
• 卡点：回路数量多，接触关系容易数错，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过多回路结构图逐层化简
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 本卷考过化简内环时把外环信号当常数处理
• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

比较点与引出点的移动 结构图与方框图

本卷考法

• 比较点与引出点的等效移动

本卷实例

• 关键一步：把引出点移到相邻相加点之前或之后并补乘相应环节
• 中间结果：移动后新增的支路要计入前向通路或回路
• 卡点：信号流图法可交叉验证化简结果

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 移动的判据：移动前后各支路变量关系必须保持不变
• 比较点前移要除以所跨环节，后移要乘以所跨环节
• 引出点前移要乘以所跨环节，后移要除以所跨环节

步骤

• 确定要移动的点和跨越的环节
• 按“前移用除、后移用乘”的规则补上等效环节
• 检查移动后与原结构是否等价

通用考法

• 本卷考过比较点与引出点的等效移动
• 化简含交叉比较点或引出点的结构图
• 判断某次移动是否正确

常见易错

• 本卷考过移动方向与乘除关系搞反
• 移动方向与乘除关系搞反
• 引出点与比较点的移动规则混用

七离散系统稳定性与稳态输出20 分#

思路

• 由闭环脉冲传函写特征方程并用 Jury 判据判稳，再写差分方程，最后由终值定理求单位阶跃稳态输出

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用 Jury 判据判断二阶离散系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：由闭环脉冲传函分母写出二阶特征方程
• 中间结果：对二阶系统列 Jury 三条件并逐一代入
• 卡点：D(1)、D(-1) 与常数项三个条件缺一不可

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用 Jury 判据判断二阶离散系统稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于一
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 由脉冲传函写差分方程

本卷实例

• 关键一步：把脉冲传函交叉相乘后按 z 的负幂对齐
• 中间结果：差分方程为当前输出与前一拍输出及输入的递推关系
• 卡点：初始条件为零时的差分方程不含初值项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过由脉冲传函写差分方程
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 本卷考过把 z 变换结果中的指数项写成不含采样周期的形式
• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 用终值定理求单位阶跃下的稳态输出

本卷实例

• 关键一步：先判稳再令输入为阶跃的 z 变换
• 中间结果：稳态输出等于 z 趋于一时输出 z 变换与 z 减一之积的极限
• 卡点：分子分母同时约去 z 减一后再代值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过用终值定理求单位阶跃下的稳态输出
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 本卷考过未判稳就用终值定理
• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

八非线性系统稳定增益范围15 分#

思路

• 求负倒描述函数的取值范围与线性部分的奈氏图，由两曲线无交点条件确定稳定增益范围

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求负倒描述函数并判断其单调性

本卷实例

• 关键一步：写出负倒描述函数并对 A 求导判断单调性
• 中间结果：负倒描述函数在负实轴上一个区间内取值
• 卡点：端点值由 A 趋于零与无穷得到

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求负倒描述函数并判断其单调性
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 本卷考过把描述函数当成频率的函数
• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由无交点条件确定稳定增益范围

本卷实例

• 关键一步：令线性部分相角为 -180 度求交点频率
• 中间结果：线性部分在该频率处的幅值含待定增益 K
• 卡点：稳定要求幅值小于负倒描述函数端点，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由无交点条件确定稳定增益范围
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 本卷考过画的是 N(A) 而不是负倒描述函数
• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式