杭州电子科技大学 861 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图

大纲导图全屏

难度：中等　全卷 10 题、满分 150 分，卷面未逐题标分值。第 1 题信号流图求传函，第 2 题等幅振荡求参数，第 3 题根轨迹绘制与圆形证明，第 4 题由幅频图求校正装置并用劳斯判据与稳态误差定参数范围，第 5 题超前校正类型判别与相角裕度，第 6 题离散系统稳定性与稳态误差，第 7 题描述函数法自激振荡，第 8 题由状态响应反求系统矩阵，第 9 题全维观测器与状态响应，第 10 题李雅普诺夫判稳。含图题较多。

板块 考点 全部 ＋ － 适应

点击节点展开/折叠　·　滚轮缩放　·　拖拽平移

控制考研哪家强，万人教育来领航
28考研交流群：1104923352
B站账号：控制考研阿祖

1一、求系统传递函数（信号流图）#

思路

• 由题给系统信号流图，标出全部独立回路与前向通路，用梅森增益公式写特征式并求总传输。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由信号流图用梅森公式求 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：按信号流图标出全部独立回路与前向通路，写出特征式 Δ
• 中间结果：各回路两两接触，特征式只保留一阶回路项
• 中间结果：总传输等于前向通路增益与特征式之比
• 卡点：信号流图未读图，回路编号与支路增益须回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由信号流图用梅森公式求 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、等幅振荡求参数#

思路

• 由题给系统结构写闭环特征方程，把 s=jω 代入并分离实部与虚部，令两式为零联立求持续振荡时的参数。

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 由 s=jω 代入特征方程求持续振荡参数

本卷实例

• 关键一步：把给定频率下的等幅振荡看成虚轴上有一对闭环极点，代入 s=jω
• 中间结果：特征方程分离实部与虚部后得到两个含参数的方程
• 卡点：题图给出的对象与反馈结构须回原卷核对，卷面只印振荡频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过由 s=jω 代入特征方程求持续振荡参数
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

3三、根轨迹绘制与圆形证明#

思路

• 按绘制法则画开环增益从零到无穷的根轨迹并求分离点，再令 s=x+yj 代入特征方程消去参数证明轨迹是圆。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则画出由开环零极点确定的根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：标出开环极点与零点后先判实轴上的根轨迹段
• 中间结果：实轴段由右侧零极点总数的奇偶判定，渐近线条数等于极点数减零点数
• 卡点：实轴段判据要逐段数右侧零极点总数，易把两段都算反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则画出由开环零极点确定的根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 用分离点方程求根轨迹与实轴的交点

本卷实例

• 关键一步：由幅值条件把开环增益写成关于 s 的显式表达式，再令其对 s 的导数为零
• 中间结果：分离点方程化为一元二次方程，两根一取一舍
• 卡点：两根中只有落在实轴根轨迹段上的才保留

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过用分离点方程求根轨迹与实轴的交点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 由幅相条件说明根轨迹的几何形状

本卷实例

• 关键一步：把 s=x+yj 代入闭环特征方程并分离实部与虚部
• 中间结果：消去可变参数后得到圆的方程，圆心落在负实轴上
• 卡点：证明的是圆，但真正属于根轨迹的只是满足相角条件的弧段

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过由幅相条件说明根轨迹的几何形状
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

4四、由幅频图求校正装置与参数范围#

思路

• 先由幅频图低频斜率与转折频率还原校正装置传函，再对校正后系统用劳斯判据求稳定域，最后按组合输入稳态误差要求反解参数并取交集。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由给定幅频图写出校正装置传递函数

本卷实例

• 关键一步：读低频段斜率与高度确定型别和增益，再按转折频率确定环节
• 中间结果：低频段水平，两个转折频率处斜率各变化一次
• 卡点：幅频图未读图，转折频率与高频段高度须回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由给定幅频图写出校正装置传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 由劳斯判据确定使闭环稳定的参数范围

本卷实例

• 关键一步：写出校正后开环对应的闭环特征方程并按降幂排列
• 中间结果：劳斯表首列各元素给出关于开环增益的不等式组
• 卡点：首列含参元素作分母时要讨论其正负

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过由劳斯判据确定使闭环稳定的参数范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由开环传函求静态速度与加速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：先数开环传函中积分环节个数确定系统型别
• 中间结果：速度误差系数为无穷，加速度误差系数与开环增益同阶
• 卡点：型别判错会把组合输入各项的误差公式用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由开环传函求静态速度与加速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求斜坡与加速度组合输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：按叠加原理把组合输入拆成斜坡与加速度两项分别求误差
• 中间结果：组合误差化简为加速度项系数与开环增益之比
• 卡点：列误差要求前要先确认系统在所得参数范围内稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求斜坡与加速度组合输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

5五、校正类型判别与相角裕度#

思路

• 由校正装置传函判断超前或滞后，画校正前后与装置的幅频图，分别求相角裕度，再从稳定性、准确性与动态性能说明校正作用。

超前校正 系统校正

本卷考法

• 由校正装置传函判断是否为超前校正

本卷实例

• 关键一步：把校正装置写成零点时间常数与极点时间常数的标准形式
• 中间结果：零点转折频率高于极点转折频率，说明相位超前
• 卡点：时间常数大小要与零极点位置对应，不能只看分子分母次数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过由校正装置传函判断是否为超前校正
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 画校正前后开环与校正装置的幅频图

本卷实例

• 关键一步：把各传函写成典型环节乘积，从低频段开始逐段叠加斜率
• 中间结果：校正后低频段高度不变，转折频率按新增环节增减
• 卡点：校正装置图与校正前后图要分开画，不能混成一条曲线

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过画校正前后开环与校正装置的幅频图
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前后的相角裕度

本卷实例

• 关键一步：先由幅值等于一的条件求各状态下的截止频率
• 中间结果：把截止频率处的相角代入裕度定义式分别计算
• 卡点：截止频率改变后要重新取相角，不能沿用校正前的值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前后的相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 从稳定性、准确性与动态性能说明超前校正作用

本卷实例

• 关键一步：按校正装置提供的超前相角解释相角裕度提升
• 中间结果：截止频率右移使响应加快、超调下降
• 卡点：准确性与抗高频干扰能力并非都改善，要分项说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过从稳定性、准确性与动态性能说明超前校正作用
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

6六、离散系统稳定性与稳态误差#

思路

• 对含保持器的连续部分整体做 z 变换求开环脉冲传函，用朱利判据求使闭环稳定的采样周期范围，再按 z 域位置误差系数求单位阶跃稳态误差。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由连续传函求开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：对含零阶保持器的连续部分整体做 z 变换
• 中间结果：开环脉冲传函的分母含 z 减一与 z 减指数两项
• 卡点：离散结构图未读图，采样开关与保持器位置须回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由连续传函求开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求使离散系统稳定的采样周期范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征方程后逐条检验朱利判据条件
• 中间结果：各条不等式解出采样周期的上下界并取交集
• 卡点：二阶特征式也要三个条件同时成立，缺一不可

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求使离散系统稳定的采样周期范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求单位阶跃输入下的离散系统稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由开环脉冲传函求 z 趋于一时的位置误差系数
• 中间结果：位置误差系数为无穷，则单位阶跃的稳态误差为零
• 卡点：用终值定理前须确认系统在所得采样周期范围内稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求单位阶跃输入下的离散系统稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

7七、描述函数法判断自激振荡#

思路

• 写出理想继电特性的描述函数与负倒描述函数，画线性部分的奈氏图并求其与负倒描述函数的交点，据此判断自激振荡并读振荡频率与幅值。

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求理想继电特性的描述函数与负倒描述函数

本卷实例

• 关键一步：按正弦输入下输出一次谐波的幅值求描述函数
• 中间结果：负倒描述函数是随输入幅值变化的负实轴轨迹
• 卡点：描述函数只与输入幅值有关，不是频率的函数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求理想继电特性的描述函数与负倒描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由两曲线交点判断自振并求频率与幅值

本卷实例

• 关键一步：在同一复平面画线性部分奈氏图与负倒描述函数并找交点
• 中间结果：线性部分相角达到负一百八十度处与负倒轨迹相交
• 卡点：非线性框图未读图，继电特性与线性部分须回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由两曲线交点判断自振并求频率与幅值
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

8八、由状态响应反求系统矩阵#

思路

• 把两组初始条件与状态响应代入零输入响应公式，比较解出状态转移矩阵，再对时间求导并取零时刻得系统矩阵。

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由两组初始条件与状态响应反求系统矩阵

本卷实例

• 关键一步：用两组初值构造关于状态转移矩阵各元素的线性方程组
• 中间结果：解出以指数函数表示的状态转移矩阵
• 卡点：再由状态转移矩阵对时间求导并取零时刻得到常值系统矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由两组初始条件与状态响应反求系统矩阵
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

9九、全维观测器设计与状态响应#

思路

• 先判断系统能观性，按期望极点写出观测器误差特征多项式并比较系数求增益阵，再用观测器闭环矩阵求状态转移矩阵得到状态响应。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断给定状态空间系统的能观性

本卷实例

• 关键一步：由输出矩阵与状态矩阵构造能观性判别矩阵
• 中间结果：判别矩阵满秩，系统状态可完全观测
• 卡点：能观性矩阵按行堆叠，与能控性矩阵构造顺序不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断给定状态空间系统的能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 按期望极点设计全维状态观测器增益阵

本卷实例

• 关键一步：写出观测器误差动态矩阵并求其特征多项式
• 中间结果：令误差特征多项式与期望极点多项式同次幂系数相等
• 卡点：观测器增益方向要与误差动态矩阵的表达形式一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过按期望极点设计全维状态观测器增益阵
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由观测器闭环矩阵求已知初值下的状态响应

本卷实例

• 关键一步：对观测器闭环矩阵求 (sI 减矩阵) 的逆并作拉氏反变换
• 中间结果：状态响应等于状态转移矩阵左乘初值向量
• 卡点：初值向量的元素要按题给顺序代入，不能换位

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由观测器闭环矩阵求已知初值下的状态响应
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

10十、李雅普诺夫方法判稳#

思路

• 可由特征方程根或李雅普诺夫方程判断稳定性；第二种方法选正定矩阵 Q，解李雅普诺夫方程求 P 并检验其正定性。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫方程或特征值判断系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：选定对称正定矩阵 Q 后解李雅普诺夫方程求 P
• 中间结果：特征方程两根一正一负，或解出的 P 非正定
• 卡点：解出 P 后要用各阶主子式判其正定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫方程或特征值判断系统稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式