西北工业大学 821 自动控制原理 2025 年真题思维导图

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难度：中等偏难　6题150分；依次考系统原理与方框图、根轨迹、幅相曲线与稳定裕度、Bode图校正、采样系统、非线性自振，无选择填空；校正题同时给稳态误差、截止频率与相角裕度三个约束，计算量偏大

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1一、控制系统工作原理与方框图#

思路

• 由结构图分析系统如何按偏差调节，指出被控对象、被控量与给定量，并按信号流向画出方框图

过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表

本卷考法

• 指出系统的被控对象、检测变送、控制器与执行器
• 画出系统的闭环方框图并说明工作过程

本卷实例

• 关键一步：按被控对象、检测变送、控制器、执行器四类把图中部件对号入座
• 关键一步：按给定、比较、控制、执行、对象、反馈的顺序连成闭环
• 关键一步：反馈支路从被控量引回比较点，与给定量相减得到偏差
• 中间结果：系统以偏差驱动执行器，使输出跟随输入，属按偏差调节的随动系统
• 卡点：部件名称与信号流向需回原卷核对图1与图2
• 卡点：本题为随动系统，套用四大环节时按广义反馈系统理解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 四大环节：被控对象、检测变送、控制器、执行器
• 被控量是工艺上要维持的变量，操纵量是控制器输出所控制的变量
• 扰动是影响被控量但不可控的变量
• 设计步骤：定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定

步骤

• 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
• 判断扰动是否需要专门抑制（决定要不要加副回路）
• 选择控制方案并画原理图与方框图
• 说明系统的工作过程

通用考法

• 本卷考过指出系统的被控对象、检测变送、控制器与执行器
• 本卷考过画出系统的闭环方框图并说明工作过程
• 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
• 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
• 说明系统的工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图不画原理图（或反之），漏答一半

2二、根轨迹绘制与闭环零极点分布#

思路

• 先由闭环特征方程分离出与K*无关的固定闭环根，对剩余三阶系统写等效开环画根轨迹；再用阻尼比0.5的等阻尼线求共轭极点与对应增益，画闭环零极点图并算单位斜坡稳态误差

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按等效开环绘制K*从0到正无穷的根轨迹草图
• 求渐近线交点与实轴夹角
• 判断实轴上的根轨迹段

本卷实例

• 关键一步：先求闭环特征方程，发现恒有一个与K*无关的根-2.2，把它单独分离出去
• 关键一步：对剩余三阶特征方程写等效开环，再按根轨迹法则判断实轴段与渐近线
• 关键一步：等效开环化简为K*除以s与(s²+4s+5)的乘积，极点为0和-2±j
• 中间结果：实轴根轨迹段为负无穷到0
• 中间结果：渐近线交点为负4/3，与实轴正向夹角为60°、180°、300°
• 卡点：不能直接把G_c乘G_o乘H当开环，必须先分离与K*无关的固定根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按等效开环绘制K*从0到正无穷的根轨迹草图
• 本卷考过求渐近线交点与实轴夹角
• 本卷考过判断实轴上的根轨迹段
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹在实轴上的分离点

本卷实例

• 关键一步：由等效开环把K*写成s的表达式，令其对s的导数为零得到分离点方程
• 关键一步：解出后按实轴根轨迹段筛选，舍去不在根轨迹上的根
• 中间结果：分离点方程为3s²+8s+5=0，两个根都落在实轴根轨迹段内
• 卡点：求出两根后仍要判断哪一个是分离点、哪一个是会合点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹在实轴上的分离点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

出射角与入射角 根轨迹法

本卷考法

• 求共轭复数极点的起始角（出射角）

本卷实例

• 关键一步：在复数极点负2加j处写相角条件，累加其余零极点贡献的相角
• 关键一步：由根轨迹关于实轴对称直接写出另一共轭极点的出射角
• 中间结果：负2加j处的出射角约为负63.4°，另一极点处为对应正值
• 卡点：累加相角时不要把这个极点自身的相角算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 出射角是根轨迹离开开环极点的方向
• 入射角是根轨迹进入开环零点的方向
• 计算时需代入相角条件并逐项累加各零极点贡献的相角
• 共轭复数极点的出射角互为相反数

步骤

• 取待求极点（或零点）为参考点
• 写出相角条件并代入该点
• 把其余零极点的相角移到等式右边累加
• 求反正切得到出射角或入射角

通用考法

• 本卷考过求共轭复数极点的起始角（出射角）
• 求复数极点的出射角
• 根据出射角画出根轨迹起始方向
• 由入射角确定根轨迹终止方向

常见易错

• 累加相角时把该极点自身的相角也算进去
• 忘记判断象限导致角度差 180°

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点及临界K*

本卷实例

• 关键一步：对剩余三阶特征方程列劳斯表，令首列出现零元素得到临界条件
• 关键一步：由辅助方程解出纯虚根频率与临界K*
• 中间结果：临界K*对应一对共轭纯虚根，交点频率由辅助方程的二次项定出
• 卡点：虚轴交点是共轭的一对，只代一个频率会漏掉另一半

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界K*
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由阻尼比0.5的等阻尼线求共轭极点与对应的K*

本卷实例

• 关键一步：阻尼角是阻尼比的反余弦，把闭环共轭极点设在这条等阻尼射线上
• 关键一步：把极点表达式代入闭环特征方程，令实部与虚部分别为零联立求解
• 关键一步：求出共轭极点后再用根之和等于特征方程二次项系数取负来核对
• 中间结果：虚部方程先定出极点到原点的距离，再回代实部方程求K*
• 卡点：设共轭极点时不要漏掉与K*无关的固定根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由阻尼比0.5的等阻尼线求共轭极点与对应的K*
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

零极点分布与响应模态 传递函数

本卷考法

• 按求得的闭环极点与零点画出零极点分布图

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程因式分解，逐个标出实数极点、共轭极点与闭环零点
• 关键一步：共轭极点落在等阻尼射线上，与负实轴的夹角为阻尼角
• 中间结果：闭环含一个固定实极点、一对指定阻尼比的共轭极点与另一个实极点，分布关于实轴对称
• 卡点：闭环零点与开环零点不要混；分布图的具体刻度需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
• 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
• 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
• 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量

步骤

• 求特征方程得到全部闭环极点
• 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
• 找出主导极点对，近似为低阶系统
• 结合零点判断各模态权重大小

通用考法

• 本卷考过按求得的闭环极点与零点画出零极点分布图
• 由极点分布写出响应的大致形式
• 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
• 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统

常见易错

• 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位斜坡信号作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先写误差传函E(s)/R(s)，确认闭环稳定后才能用终值定理
• 关键一步：单位斜坡输入的R(s)为s平方分之一，与误差传函相乘后取s趋近0的极限
• 中间结果：稳态误差只由等效开环的增益项决定，与求得的K*成反比
• 卡点：写误差传函时漏掉H(s)会得到不同的结果

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位斜坡信号作用下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、由幅相曲线求传递函数与稳定裕度#

思路

• 由结构图与G_o的幅相曲线判断环节形式，用给定频率处的复数频率特性定出参数；再对开环分别按相角裕度与幅值裕度的要求反求增益K

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由幅相特性曲线判断G_o的环节形式
• 用给定频率处的复数频率特性定出G_o的参数

本卷实例

• 关键一步：由相角从0°单调减到-180°判断G_o是二阶环节且不含积分环节
• 关键一步：用低频幅值或直流增益定出比例系数，再由ω等于根号10处的复数频率特性定阻尼比
• 中间结果：该处频率特性只有负虚部，联立后可得阻尼比；G_o由比例系数、自然频率与阻尼比确定
• 卡点：本题给的是幅相曲线而不是Bode图，要按复数频率特性处理；曲线标注需回原卷核对图3(b)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由幅相特性曲线判断G_o的环节形式
• 本卷考过用给定频率处的复数频率特性定出G_o的参数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求相角裕度γ为60°时K的值
• 求幅值裕度h为20dB时K的值

本卷实例

• 关键一步：先写开环G(s)为K乘G_o(s)再除s，把积分环节单独列出
• 关键一步：相角裕度在幅值穿越频率处定义，幅值裕度在相位穿越频率处定义，两个频率分别求
• 关键一步：由相角裕度列相角方程解出穿越频率，再由幅值条件解出K
• 中间结果：相角条件整理后得到关于穿越频率的二次方程，用题给参考数据取正根
• 中间结果：幅值裕度20dB等价于相位穿越频率处开环幅值等于0.1
• 卡点：二阶环节的相角要用反正切形式逐项累加；反正切值按题给参考数据取，不要自行取整

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求相角裕度γ为60°时K的值
• 本卷考过求幅值裕度h为20dB时K的值
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

4四、Bode图反求传函与滞后超前校正#

思路

• 先由渐近幅频特性读出型别、增益与转折频率写出校正前开环传函并算相角裕度判稳；再按稳态误差、截止频率与相角裕度三个约束设计带比例环节的滞后-超前校正装置

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正前Bode图写出开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段以负20dB每十倍频过0dB线的横坐标4，说明含一个积分环节且开环增益为4
• 关键一步：两个转折频率处斜率的变化量分别对应惯性环节，按累加规则写出各环节
• 中间结果：校正前开环由一个积分环节、两个相同时间常数的惯性环节和一个惯性环节串联组成
• 卡点：读斜率变化时要累加而不是替换；图上具体标注需回原卷核对图4(b)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正前Bode图写出开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前系统的相角裕度并据此判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：截止频率由曲线与0dB线的交点给出，代入各环节相角累加求相角裕度
• 关键一步：系统为最小相位，相角裕度大于零说明闭环稳定
• 中间结果：相角裕度用90°减去两个相同的反正切项与另一个反正切项，结果是一个小的正角
• 卡点：反正切值按题给参考数据取；只对最小相位系统可直接用裕度符号判稳

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前系统的相角裕度并据此判断稳定性
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

滞后-超前校正 系统校正

本卷考法

• 设计带比例环节的滞后-超前校正装置，同时满足稳态误差、截止频率与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：由单位斜坡稳态误差的要求先定出校正后开环增益
• 关键一步：校正后截止频率要求与校正前相同，据此确定超前部分的转折频率
• 关键一步：由相角裕度差额加补偿角求最大超前角与系数，再按低频增益要求补滞后部分
• 中间结果：速度误差系数在校正后只由开环增益决定，可先由误差上限反求增益
• 中间结果：超前部分的两个转折频率由新的截止频率与该系数共同定出，滞后部分只负责抬高低频增益
• 卡点：先设计滞后部分会使截止频率反复调整；题给四个转折频率的大小顺序要满足

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 兼顾稳态精度与动态性能，适合指标要求较高的场合
• 低频段用滞后部分提高增益，中高频段用超前部分提高裕度
• 设计时先确定超前部分，再确定滞后部分

步骤

• 按稳态精度要求确定开环增益
• 选择新的截止频率并计算超前部分参数
• 计算为把低频增益抬到要求值所需的滞后部分参数
• 合并写出校正装置并校验

通用考法

• 本卷考过设计带比例环节的滞后-超前校正装置，同时满足稳态误差、截止频率与相角裕度
• 设计滞后-超前校正装置
• 说明为何单一校正无法满足指标
• 分析校正后系统的低频与高频特性

常见易错

• 先设计滞后部分导致截止频率反复调整
• 两部分的转折频率分布重叠，互相削弱

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 说明校正装置的类型及其改善系统性能的作用

本卷实例

• 关键一步：由校正装置分子与分母时间常数的大小关系判断类型属于超前还是滞后
• 关键一步：滞后部分抬高低频增益改善稳态精度，超前部分在中频段补相位提高相角裕度
• 中间结果：稳态精度、响应速度与稳定性三个指标方向不完全一致，需要滞后与超前两部分配合
• 卡点：只说明一部分的作用会漏掉题目对校正装置类型的要求

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过说明校正装置的类型及其改善系统性能的作用
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

5五、采样系统误差脉冲传函与稳态偏差#

思路

• 按采样开关位置把含零阶保持器的连续部分整体取z变换，写出误差脉冲传函；用朱里判据判稳，再写差分方程并用终值定理求单位阶跃下的稳态偏差

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求误差脉冲传函E(z)/R(z)（含零阶保持器）

本卷实例

• 关键一步：先看采样开关位置，连续环节之间没有采样开关时要把它们合并后整体取z变换
• 关键一步：按结构图写误差点的两条反馈支路，分别化为脉冲传函再相加
• 关键一步：整理成z的有理分式以便判断稳定性
• 中间结果：误差传函分母含两条支路的脉冲传函之和，采样周期代入后指数项可用题给数值
• 卡点：两个连续环节若分别取z变换再相乘会出错；图5的采样开关位置需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求误差脉冲传函E(z)/R(z)（含零阶保持器）
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 由误差脉冲传函写出采样时刻的差分方程

本卷实例

• 关键一步：把误差脉冲传函的分子分母同除z的最高次幂，写成z的负幂形式
• 关键一步：z的负一次幂对应滞后一拍，逐项展开得到相邻采样时刻的递推关系
• 中间结果：差分方程的阶次与脉冲传函分母的阶次一致，各项系数一一对应
• 卡点：z的负一次幂对应滞后一拍而不是超前；移项时两边符号要一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过由误差脉冲传函写出采样时刻的差分方程
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断闭环采样系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征方程，用朱里判据或w变换后套劳斯判据
• 关键一步：朱里判据要同时检查特征多项式在z等于正负1处的符号与常数项对最高次项系数的大小关系
• 中间结果：特征方程是z的二次方程，系数含e的负一次幂；三个条件都满足即闭环稳定
• 卡点：把稳定条件写成实部小于零；代入D(负1)时不要漏掉符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断闭环采样系统的稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求单位阶跃输入下偏差e的稳态值

本卷实例

• 关键一步：先用已判定的稳定性确认终值定理可用
• 关键一步：单位阶跃输入的z变换为z除以z减1，代入误差传函后取z趋近1的极限
• 中间结果：阶跃输入下的稳态偏差取决于开环脉冲传函在z等于1处的极点数
• 卡点：未判稳就用终值定理会得到无意义的结果

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求单位阶跃输入下偏差e的稳态值
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

6六、非线性系统自激振荡分析#

思路

• 先求非线性环节的负倒描述函数并确定其随振幅的变化走向，再与线性部分的频率特性画在同一复平面求交点，判断是否自振并读出振幅与频率

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求非线性环节的描述函数与负倒描述函数
• 确定负倒描述函数随振幅增大的走向

本卷实例

• 关键一步：按一次谐波近似写出描述函数，题给两个公式说明非线性类型要由图判断
• 关键一步：求负倒描述函数并让它随振幅增大移动，判断它是沿负实轴向左还是向右
• 中间结果：其中一个描述函数形如常数除以振幅再乘以根号项，其负倒描述函数在负实轴上有极值点
• 卡点：使用哪一个描述函数公式需回原卷核对图6；负倒描述函数走向画反会导致稳定性结论颠倒

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求非线性环节的描述函数与负倒描述函数
• 本卷考过确定负倒描述函数随振幅增大的走向
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 判断系统是否自振并求输出振幅与频率

本卷实例

• 关键一步：求线性部分的频率特性，找出它与负实轴的交点及对应频率
• 关键一步：把线性部分曲线与负倒描述函数画在同一复平面，交点即自振点
• 关键一步：按负倒描述函数上振幅增大的方向判断极限环是否稳定
• 中间结果：线性部分与负实轴的交点频率即自振频率，该处负实数值决定非线性环节的输入振幅
• 中间结果：题目问的输出振幅还要按线性环节在该频率处的幅值换算
• 卡点：输出振幅与描述函数输入振幅之间差一个线性环节的幅值；判断稳定自振要结合两条曲线的走向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过判断系统是否自振并求输出振幅与频率
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式