湖南大学 823 自动控制理论（含现控） 2018 年真题思维导图

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难度：中等　七道大题覆盖运放模拟电路求闭环传函、结构图求二阶指标、含右半平面极点对象的根轨迹与欠阻尼K范围、含右半平面零点的奈氏判据、斜坡稳态误差反求增益、Bode图绘制与串联校正、离散系统稳定性与斜坡误差

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一运放电路求闭环传递函数#

思路

• 对各级运放用虚短虚断与复阻抗法列节点方程，消去中间电压得闭环传函

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由多级运放组成的模拟电路求闭环传递函数Uo(s)/Ui(s)

本卷实例

• 关键一步：对每个运放输入端用虚短虚断列节点电流方程
• 中间结果：逐级写出各级输出与输入的复阻抗比
• 卡点：各级运放的反馈网络接法以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由多级运放组成的模拟电路求闭环传递函数Uo(s)/Ui(s)
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 本卷考过含运放时忽略虚短虚断，方程数不足
• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

二结构图求二阶指标#

思路

• 由结构图求闭环传函，化为二阶标准形式读ωn、ξ，再求超调量

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由结构图求闭环传函并读出ωn与ξ

本卷实例

• 关键一步：先由图求开环传函，再写成单位反馈的闭环形式
• 中间结果：闭环特征式与标准二阶式逐项比对定ωn、ξ
• 卡点：前向通道中的增益标注以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由结构图求闭环传函并读出ωn与ξ
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时未把s²项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由欠阻尼的ξ、ωn计算超调量σ%

本卷实例

• 关键一步：把ξ、ωn直接代入超调量公式
• 中间结果：σ%只由阻尼比ξ决定，与ωn无关
• 卡点：题面参数不全时需先由闭环极点位置反推ξ

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由欠阻尼的ξ、ωn计算超调量σ%
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过超调量公式中漏乘100%
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

三含右半平面极点的根轨迹与欠阻尼K范围#

思路

• 按法则画根轨迹（实轴段、分离点、虚轴交点），再由欠阻尼条件取K区间

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制含正实部极点对象的180°根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：标出开环极点与零点后先定实轴上的根轨迹段
• 中间结果：渐近线条数与夹角由极点数减零点数确定
• 卡点：开环极点含s=2的正实部，图形起点需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制含正实部极点对象的180°根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过实轴根轨迹段判据中零极点个数数错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹分离点及对应临界增益

本卷实例

• 关键一步：把K写成s的有理式后令其一阶导数为零
• 中间结果：分离点方程的解须落在根轨迹实轴段上才有效
• 卡点：舍根时以是否在根轨迹实轴上为准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹分离点及对应临界增益
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出dK/ds=0的根后未筛选有效解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及临界K

本卷实例

• 关键一步：把s=jω代入闭环特征方程并分离实部虚部
• 中间结果：实部虚部两式联立解出ω与临界K
• 卡点：临界K对应纯虚根，是欠阻尼与不稳定的分界

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及临界K
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一组ω就下结论，漏掉另一组交点
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由系统处于欠阻尼状态确定K的取值范围

本卷实例

• 关键一步：欠阻尼即闭环极点为共轭复根且实部为负
• 中间结果：K区间由分离点与虚轴交点的两个临界值夹出
• 卡点：区间端点是否包含以题面欠阻尼的严格定义为准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由系统处于欠阻尼状态确定K的取值范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

四含右半平面零点的奈氏判据#

思路

• 画开环幅相曲线并数右半平面开环极点数P，由包围(-1,j0)的圈数判稳

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由含正实部零点的开环幅相曲线判闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数P，再看曲线对(-1,j0)的包围圈数
• 中间结果：非最小相位下幅频不能唯一决定相频，须用全幅相曲线
• 卡点：幅相曲线走向以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由含正实部零点的开环幅相曲线判闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过未先数开环右半平面极点数P
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 判断分子含(-τs+1)的环节是否为非最小相位

本卷实例

• 关键一步：检查零点是否落在右半平面以判非最小相位
• 中间结果：分子(-τs+1)提供一个正实部零点
• 卡点：相位须按全频段从0到+∞累计

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过判断分子含(-τs+1)的环节是否为非最小相位
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 本卷考过把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

五斜坡输入稳态误差与增益范围#

思路

• 由结构图求开环传函与型别，写速度误差系数并用ess≤0.2反解K

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 判断系统型别并求静态速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：由开环传函中s的幂次确定系统型别
• 中间结果：Ⅰ型系统的斜坡误差为速度误差系数的倒数
• 卡点：开环增益须计入各环节的静态增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过判断系统型别并求静态速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过数错积分环节个数导致型别判错
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由稳态误差要求ess≤0.2反求开环增益K的范围

本卷实例

• 关键一步：先确认闭环稳定再用终值定理求ess
• 中间结果：把误差不等式整理成K的下界
• 卡点：结构图前向通道与反馈接法以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由稳态误差要求ess≤0.2反求开环增益K的范围
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判闭环稳定就使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

六Bode图绘制、相位裕度与串联校正#

思路

• 按交接频率分段画渐近幅频并求相位裕度，再由校正后幅频反求校正装置

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由惯性环节交接频率分段绘制开环渐近幅频特性

本卷实例

• 关键一步：先把各环节写成标准时间常数并列出交接频率
• 中间结果：低频段斜率与高度由型别和开环增益共同确定
• 卡点：高频段斜率由环节总阶数决定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由惯性环节交接频率分段绘制开环渐近幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过逐段改斜率时忘记在旧斜率上累加
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由Bode图求系统的相位裕度γ

本卷实例

• 关键一步：先由幅频曲线定截止频率ωc
• 中间结果：γ为180°加上ωc处的相角
• 卡点：相角累计时注意各惯性环节的滞后符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由Bode图求系统的相位裕度γ
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把幅值穿越频率与相位穿越频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正后的对数幅频特性写出校正后传递函数

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率定型别、由高度定开环增益
• 中间结果：各交接频率处的斜率变化对应相应环节
• 卡点：转折频率与增益须由幅频图逐段读出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正后的对数幅频特性写出校正后传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把延长线交点误当增益值而未折算型别
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 由校正前后传函之比求串联校正装置并评价其合理性

本卷实例

• 关键一步：用校正后传函除以原传函得校正装置传函
• 中间结果：校正装置的零极点应与前后幅频差异对应
• 卡点：是否物理可实现须检查分子阶次不高于分母

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过由校正前后传函之比求串联校正装置并评价其合理性
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 本卷考过只盯相角裕度而忽略带宽要求
• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

七离散系统稳定性与斜坡稳态误差#

思路

• 求开环脉冲传函与闭环特征方程，用朱利判据判稳并按型别求斜坡误差

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由连续部分加采样开关求开环脉冲传函G(z)

本卷实例

• 关键一步：先对连续部分做z变换再组合成开环脉冲传函
• 中间结果：闭环脉冲传函由G(z)按单位反馈组合得到
• 卡点：采样开关与保持器位置以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由连续部分加采样开关求开环脉冲传函G(z)
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过把无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求闭环稳定时K的范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征多项式并列朱利表
• 中间结果：由朱利表各约束取交集得K的稳定区间
• 卡点：离散稳定判据针对z平面的单位圆

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求闭环稳定时K的范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于1
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统在斜坡输入下的稳态误差ess

本卷实例

• 关键一步：先判稳再用终值定理求稳态误差
• 中间结果：斜坡误差与采样周期及开环脉冲传函型别有关
• 卡点：K取题给值时闭环须落在稳定区间内

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统在斜坡输入下的稳态误差ess
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 本卷考过直接用s域静态误差系数公式处理离散系统
• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式