河海大学 827 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

大纲导图全屏

难度：中等　全卷九道大题：结构图求传函、参考与扰动双输入稳态误差、相位裕度反求阻尼比、稳定范围与根轨迹、正弦输入稳态输出、采样系统闭环脉冲传函与稳态误差、描述函数法自振、状态空间状态反馈与全维观测器、李雅普诺夫第二法。结构图与曲线多以插图给出，逐年册每题印明满分。

板块 考点 全部 ＋ － 适应

点击节点展开/折叠　·　滚轮缩放　·　拖拽平移

控制考研哪家强，万人教育来领航
28考研交流群：1104923352
B站账号：控制考研阿祖

1一、结构图求传递函数15 分#

思路

• 按结构图找独立回路与前向通路，用梅森公式写出输入到输出的传递函数。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式求结构图的输入到输出传递函数

本卷实例

• 关键一步：按结构图找独立回路与前向通路并写各自余子式
• 中间结果：特征式含两两互不接触回路的乘积项
• 卡点：结构图以图给出，回路接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式求结构图的输入到输出传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、参考与扰动双输入稳态误差15 分#

思路

• 分别对参考输入与扰动求误差传函，用终值定理算阶跃误差再按限值条件解参数。

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求参考输入单独作用下的阶跃稳态误差并反求参数

本卷实例

• 关键一步：判稳后写误差传函用终值定理求阶跃误差
• 中间结果：阶跃误差为零要求误差传函在原点留数为零
• 卡点：参考输入单独作用时须把扰动置零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求参考输入单独作用下的阶跃稳态误差并反求参数
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求扰动单独作用下的稳态误差并反求参数

本卷实例

• 关键一步：扰动作用时令参考输入为零求扰动到误差传函
• 中间结果：扰动误差由扰动到误差传函在原点取值决定
• 卡点：扰动接入点与结构图有关，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求扰动单独作用下的稳态误差并反求参数
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 用叠加原理写出双输入共同作用下的误差

本卷实例

• 关键一步：把参考输入与扰动各自作用的误差结果相加
• 中间结果：双输入系统的总误差为两分量之和
• 卡点：叠加原理只对线性系统成立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过用叠加原理写出双输入共同作用下的误差
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

3三、相位裕度反求阻尼比15 分#

思路

• 由相角裕度条件求截止频率与增益，再由闭环特征式对照二阶标准形式求阻尼比。

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由相角裕度条件求截止频率并反求开环增益

本卷实例

• 关键一步：由相角裕度条件写出截止频率处的相角关系
• 中间结果：相角裕度等于一百八十度加相频在截止频率的取值
• 卡点：截止频率与自然频率是两个不同量勿混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由相角裕度条件求截止频率并反求开环增益
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环特征式对照标准二阶形式求阻尼比

本卷实例

• 关键一步：由开环传函写出闭环特征式并对照标准形式
• 中间结果：阻尼比由特征式一次项与自然频率的关系给出
• 卡点：化标准形式时须把二次项系数归一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环特征式对照标准二阶形式求阻尼比
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

4四、稳定范围与根轨迹15 分#

思路

• 先由劳斯判据求闭环稳定增益范围，再按绘制法则画根轨迹求渐近线与起始角。

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求系统闭环稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：列特征方程劳斯表并令首列元素为正
• 中间结果：稳定上界由首列含增益元素为零给出
• 卡点：特征方程缺项时按零补齐再列劳斯表

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求系统闭环稳定的增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画三阶系统根轨迹的草图

本卷实例

• 关键一步：标出开环零极点并判断实轴根轨迹段
• 中间结果：三条分支渐近线交角由极点数与零点数之差给出
• 卡点：轨迹从开环极点出发、终止于零点或无穷远

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画三阶系统根轨迹的草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹的分离点与会合点

本卷实例

• 关键一步：由分离点方程求根再筛选落在轨迹上的解
• 中间结果：分离点处对应增益由幅值条件给出
• 卡点：求出的根必须落在实轴根轨迹段内

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹的分离点与会合点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

出射角与入射角 根轨迹法

本卷考法

• 求共轭复数极点的出射角

本卷实例

• 关键一步：对复数极点按相角条件写射角方程
• 中间结果：出射角由其余零极点相角的代数和给出
• 卡点：累加相角时勿把该极点自身的相角算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 出射角是根轨迹离开开环极点的方向
• 入射角是根轨迹进入开环零点的方向
• 计算时需代入相角条件并逐项累加各零极点贡献的相角
• 共轭复数极点的出射角互为相反数

步骤

• 取待求极点（或零点）为参考点
• 写出相角条件并代入该点
• 把其余零极点的相角移到等式右边累加
• 求反正切得到出射角或入射角

通用考法

• 本卷考过求共轭复数极点的出射角
• 求复数极点的出射角
• 根据出射角画出根轨迹起始方向
• 由入射角确定根轨迹终止方向

常见易错

• 累加相角时把该极点自身的相角也算进去
• 忘记判断象限导致角度差 180°

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：令特征方程中 s 等于 jω 求频率与临界增益
• 中间结果：临界增益与穿越频率成对出现
• 卡点：轨迹始终在左半平面时范围以劳斯表结论为准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

5五、正弦输入下的稳态输出10 分#

思路

• 求闭环传函并代入正弦频率得幅频与相频，再按输入幅值与初相写出稳态输出。

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由闭环频率特性求正弦输入下的稳态输出

本卷实例

• 关键一步：先由开环传函求闭环传函再代 jω 得幅相特性
• 中间结果：正弦稳态输出幅值等于幅频乘输入幅值
• 卡点：相位要加上输入初相，勿只写滞后角

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由闭环频率特性求正弦输入下的稳态输出
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

6六、采样系统闭环脉冲传函与稳态误差15 分#

思路

• 按两种离散结构图分别求闭环脉冲传函，再用终值定理求单位阶跃下的稳态误差。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 按含采样开关的框图求闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按框图对含采样开关的环节分别作 z 变换
• 中间结果：两个子系统闭环脉冲传函分母均为回路传函加一
• 卡点：框图以图给出，两图开关位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过按含采样开关的框图求闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：判稳后用 z 域终值定理求误差极限
• 中间结果：稳态误差由误差脉冲传函在 z 等于一处的值给出
• 卡点：终值定理要求特征根全部在单位圆内

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统单位阶跃输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

7七、描述函数法判断自激振荡15 分#

思路

• 由描述函数求负倒曲线并与线性部分幅相曲线比较，判断自振并解出频率与幅值。

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由给定描述函数求负倒描述函数曲线

本卷实例

• 关键一步：把描述函数取负倒数并判断随振幅的走向
• 中间结果：负倒描述函数为一段随振幅单调移动的实轴轨迹
• 卡点：描述函数在逐年册OCR残缺，据同年宝典补出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由给定描述函数求负倒描述函数曲线
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由两曲线交点判断自振并求频率与幅值

本卷实例

• 关键一步：由线性部分相位条件求穿越频率再定位交点
• 中间结果：自振存在要求两曲线存在交点
• 卡点：振幅由负倒描述函数与实轴交点反解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由两曲线交点判断自振并求频率与幅值
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

8八、状态反馈与全维观测器35 分#

思路

• 由传函写能控标准型并判能控能观，再按期望极点分别设计状态反馈与全维观测器。

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写出状态空间表达式与能控标准型

本卷实例

• 关键一步：由传函真分式化分后写出能控标准型
• 中间结果：能控标准型的系统矩阵为友矩阵形式
• 卡点：真分式化分时直接传递项勿漏

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写出状态空间表达式与能控标准型
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造判别矩阵判断系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别用 A、B 与 C、A 构造判别矩阵
• 中间结果：两矩阵满秩时极点与观测器极点可任意配置
• 卡点：能控性对应状态反馈、能观性对应观测器

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造判别矩阵判断系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：由期望极点写特征多项式再比较系数
• 中间结果：反馈增益阵由两次特征式同次项系数相等定出
• 卡点：比较系数时符号与顺序勿写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点配置到指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计全维状态观测器使观测器极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：由期望观测器极点写特征多项式再比较系数
• 中间结果：观测器增益阵由误差方程特征式系数相等定出
• 卡点：观测器增益阵与状态反馈增益阵勿混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计全维状态观测器使观测器极点配置到指定位置
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

9九、李雅普诺夫第二法判断稳定性15 分#

思路

• 求平衡点后取二次型正定函数，沿系统方程求导并由导数的定号性判断稳定性。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第二法判断非线性系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：先求平衡点再取二次型函数沿状态方程求导
• 中间结果：导数半负定且只在部分状态为零处取零
• 卡点：要从导数为零的范围判断是否大范围渐近稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第二法判断非线性系统的稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式