北京林业大学 855 控制原理 2019 年真题思维导图

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难度：中等　宝典收录的 2019 卷，正文印码 855、科目「自动控制理论」；可辨一~八共八道大题，其中第八题含Ⅰ、Ⅱ两道独立小题；题面多含原卷插图，全卷无逐题分值标记。

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一一、信号流图求传递函数#

思路

• 由结构图的信号流图数清独立回路、前向通路与相互接触关系，用梅森增益公式写出 C(s)/R(s)。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由信号流图数回路与前向通路，用梅森公式求传函

本卷实例

• 关键一步：先数独立回路并判断两两之间是否接触
• 关键一步：再写特征式与各前向通路的余子式
• 中间结果：特征式含四条独立回路
• 中间结果：分子为唯一前向通路乘其余子式
• 卡点：回路增益正负号与接触关系需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由信号流图数回路与前向通路，用梅森公式求传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

二二、给定与扰动共同作用下的稳态误差及稳定K范围#

思路

• 先求输入与扰动分别作用下的误差传函并叠加得稳态误差；再列闭环特征方程的劳斯表，求使系统稳定的 K 取值范围。

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求扰动 n(t) 单独作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：令参考输入为零，单独求扰动到误差的传函
• 中间结果：扰动误差由终值定理求得
• 卡点：局部反馈化简后的等效传函须核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求扰动 n(t) 单独作用下的稳态误差
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 由闭环特征方程求使系统稳定的 K 范围

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程降幂排列后列劳斯表
• 中间结果：首列含 K 的一次式，稳定条件化为 K 的上界不等式
• 卡点：闭环传函由结构图化简得出，须核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程求使系统稳定的 K 范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

三三、根轨迹绘制与稳定K范围#

思路

• 求开环极点、实轴根轨迹段、渐近线与出射角，画 0<K<∞ 的闭环根轨迹；再由与虚轴交点求稳定 K 范围。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制 0<K<∞ 的闭环根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先求开环极点并判断实轴上的根轨迹段
• 中间结果：渐近线交点与夹角由开环极点数确定
• 卡点：复数极点的出射角方向须核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制 0<K<∞ 的闭环根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴交点确定稳定 K 范围

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表并令首列元素为零求临界 K
• 中间结果：交点频率由代回特征方程解得
• 卡点：临界 K 须代回原特征方程复核

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴交点确定稳定 K 范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

四四、正弦输入下的稳态误差#

思路

• 写出闭环误差传函，求其在输入角频率处的幅值与相角，按频率特性写出正弦稳态误差的表达式。

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 写出误差传递函数并求其频率特性

本卷实例

• 关键一步：由闭环传函写出误差传函并取 s 等于 jω
• 中间结果：误差传函在输入频率处的幅相即误差幅值与相位
• 卡点：须先确认闭环稳定再使用频率特性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过写出误差传递函数并求其频率特性
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求指定频率处误差传函的幅值与相角

本卷实例

• 关键一步：把输入角频率代入误差传函取模与相角
• 中间结果：正弦误差幅值为输入幅值乘误差幅频
• 卡点：相角累加别漏积分环节的负九十度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求指定频率处误差传函的幅值与相角
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

五五、奈氏判据确定稳定K范围#

思路

• 求开环幅相曲线的起点、终点与实轴交点，按奈氏判据列包围条件，确定使闭环稳定的 K 范围。

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环幅相曲线用奈氏判据求稳定 K 范围

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数并求曲线与负实轴交点
• 中间结果：实轴交点横坐标随 K 线性缩放
• 卡点：相角随频率的走向须核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环幅相曲线用奈氏判据求稳定 K 范围
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

六六、Bode图、对数稳定判据与相角裕度#

思路

• 按低频段斜率与各转折频率画对数幅频渐近线，求截止频率与相角裕度，并用对数稳定判据判稳。

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制开环对数渐近幅频特性

本卷实例

• 关键一步：按低频段斜率与各转折频率逐段改斜率
• 中间结果：转折频率处斜率依次累加
• 卡点：低频段起始高度须按系统型别折算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制开环对数渐近幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：令对数幅频为零求截止频率后算相角裕度
• 中间结果：相角裕度为一百八十度加截止频率处相角
• 卡点：相角裕度为负说明闭环不稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率与相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用对数稳定判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：由开环右半平面极点数与包围圈数求闭环极点数
• 中间结果：对数稳定判据与奈氏判据结论一致
• 卡点：相频穿越负一百八十度线的次数须数清

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用对数稳定判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

七七、离散系统脉冲传函与稳定条件#

思路

• 由含零阶保持器的开环通道求开环脉冲传函，再求闭环脉冲传函；令闭环特征根模小于一，证明稳定条件。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器与连续环节合并后作 z 变换
• 中间结果：开环 G(z) 分母含 e 的负采样周期次幂
• 卡点：零阶保持器不能漏

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环特征根模小于一证明稳定条件

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征根并令其模小于一
• 中间结果：稳定条件化为 T 与 K 的不等式
• 卡点：分母 e 的负 T 次幂符号须仔细

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环特征根模小于一证明稳定条件
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

八Ⅰ八Ⅰ、根轨迹与无超调K范围#

思路

• 写出开环极点、零点、渐近线与分离点，画根轨迹；由无超调（过阻尼）要求把闭环极点限制在实轴上，用模值条件定 K 范围。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制含开环零点的闭环根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先标开环零极点与实轴上的根轨迹段
• 中间结果：两个分离点在实轴上把根轨迹分段
• 卡点：渐近线夹角须按零极点个数差算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制含开环零点的闭环根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求分离点坐标及对应增益

本卷实例

• 关键一步：由 dK/ds 等于零求分离点并筛选有效解
• 中间结果：分离点处增益取极值
• 卡点：不在根轨迹上的根须舍去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求分离点坐标及对应增益
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由无超调要求确定 K 的取值范围

本卷实例

• 关键一步：无超调对应闭环极点全为实数，取两分离点之间
• 中间结果：K 的可行域由两分离点处模值条件夹出
• 卡点：边界是否包含须按题意判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由无超调要求确定 K 的取值范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

八Ⅱ八Ⅱ、参数根轨迹与无超调范围#

思路

• 对 K* 正负分别整理开环零极点与渐近线，画 K* 从负无穷到正无穷的闭环根轨迹；再由无超调要求定 K* 范围。

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 绘制零度与一百八十度参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：按 K* 的正负分别列写根轨迹方程
• 中间结果：K* 正负对应不同的相角条件与实轴段
• 卡点：零度根轨迹的渐近线夹角另行计算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过绘制零度与一百八十度参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求参数根轨迹的分离点

本卷实例

• 关键一步：对 K* 显式表达后令导数为零
• 中间结果：分离点处增益对应无超调边界
• 卡点：负增益段的方程须单独讨论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求参数根轨迹的分离点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由无超调条件确定 K* 的范围

本卷实例

• 关键一步：把闭环极点全为实数的要求化为 K* 的不等式
• 中间结果：无超调可行域可能为空集
• 卡点：须分 K* 正负两段各求一次

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由无超调条件确定 K* 的范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式