1、2、3、4、5一、填空题（5 空·每空 3 分）15 分#
思路
- 五道填空各自独立：相频特性写法、二阶系统阶跃响应、相平面渐近线、纯延迟系统的稳定边界、稳态误差；每空都只考一步结论，难点全在陷阱
频率特性的物理意义与求法
频域分析
本卷考法
- 写出开环传递函数的相频特性表达式
本卷实例
- 关键一步：相频特性是各环节相角的代数和，把每个因式单独取相角再相加
- 关键一步：分母 (4s−1) 含右半平面根 s=1/4
- 关键一步：它的相角为 180°−arctan(4ω)，不能按惯性环节写成 −arctan(4ω)
- 关键一步：用它自检：ω→0 时分母只剩 −1 与 s，相角应趋于 +90°
- 中间结果：φ(ω)=90°+arctan(ω/5)+arctan(4ω)−arctan(2ω)
- 卡点：把 (4s−1) 当普通惯性环节会让相频曲线平移 180°
- 卡点：从低频段符号即可看出不对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过写出开环传递函数的相频特性表达式
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环传递函数 φ(s)=(s+2)/(s²+2s+1) 求单位阶跃响应
本卷实例
- 关键一步：分母 s²+2s+1 是完全平方 (s+1)²
- 关键一步：闭环为两个相等实极点，属临界阻尼 ξ=1
- 关键一步：二重极点做部分分式要写全 A/s、B/(s+1)、C/(s+1)² 三项
- 关键一步：漏项会丢掉 t·e^{−t} 这类项
- 关键一步：先用终值定理定 c(∞)=Φ(0)=2，可以对最后的时间项做交叉验证
- 中间结果：把 C(s) 按二重极点展开成三项部分分式
- 中间结果：反变换后除指数项外还要带一项 t·e^{−t}
- 卡点：只写两项部分分式，漏掉 t·e^{−t} 项
- 卡点：或把重根当成两个不同实极点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传递函数 φ(s)=(s+2)/(s²+2s+1) 求单位阶跃响应
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
相平面法
非线性系统
本卷考法
- 写出二阶线性系统相轨迹的渐近线
本卷实例
- 关键一步：无输入系统的相轨迹由特征根决定
- 关键一步：s²+3s+2=(s+1)(s+2)，相异负实根对应稳定节点
- 关键一步：每个特征根 λ 都对应一条过原点的直线解 ẋ=λx，这条直线就是相轨迹的渐近线
- 关键一步：先判奇点类型（稳定节点、稳定焦点、鞍点），渐近线只在节点情形才存在
- 中间结果：渐近线为 ẋ=−x 与 ẋ=−2x 两条
- 卡点：只挑一条写；或把「渐近线」理解成时间响应曲线上的水平渐近线，跑到 x–t 平面去答
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
- 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
- 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
- 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
- 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
- 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
- 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
- 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
- 本卷考过写出二阶线性系统相轨迹的渐近线
- 画出给定初始条件下的相轨迹
- 判断奇点类型与稳定性
- 分析极限环的存在与形态
常见易错
- 相轨迹斜率公式中分子分母写反
- 把相轨迹与根轨迹混淆
公式
含纯延迟环节的系统稳定性
稳定性分析
本卷考法
- 求使含纯延迟环节的系统闭环稳定的延迟 τ 取值范围
本卷实例
- 关键一步：临界条件：把 s=jω 代入 G(jω)=−1
- 关键一步：幅值 |G₀(jω)|=1 与相角 ∠G₀(jω)−τω=−180° 须同时成立
- 关键一步：非延迟部分是一阶环节，幅值随 ω 单调下降，所以幅值条件先定出唯一的临界 ω
- 关键一步：再把这个 ω 代进相角条件解出临界的 τ，取值范围是 0<τ<临界值
- 中间结果：分母 OCR 作 2s+11，但与分子 √5 搭配时 ω=1 处 |G|=1
- 中间结果：这说明分母更可能是 2s+1，须回原卷核对常数项
- 中间结果：按分母 2s+1：临界相角条件为 −arctan2−τ=−π
- 中间结果：由它反解临界 τ，再据此给出 τ 的稳定区间
- 卡点：若分母是 2s+11，幅值最大仅 √5/11<1，临界条件无法满足
- 卡点：此时任何 τ 都稳定；两种读法结论相反，须回原卷核对常数项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 延迟环节 e^{-τs} 的幅值为 1、相位为 -τω，只恶化相位
- 延迟会显著缩小稳定域，τ 越大越难稳定
- 频域判据需用相位裕度扣除延迟引起的附加滞后
步骤
- 写出含延迟的开环传递函数
- 分别求幅值与相位表达式
- 在相频特性中扣除 τω 的滞后量
- 按稳定裕度或奈氏判据求临界 τ 或临界 K
通用考法
- 本卷考过求使含纯延迟环节的系统闭环稳定的延迟 τ 取值范围
- 求使系统稳定的最大延迟时间
- 求含延迟系统的临界开环增益
- 分析延迟对稳定裕度的影响
常见易错
- 把延迟环节当成惯性环节处理
- 相位计算时忘记角度与弧度换算
公式
典型输入下的稳态误差计算
稳态误差
本卷考法
- 求单位负反馈系统在斜坡输入下的稳态误差
本卷实例
- 关键一步：先数型别：分母只有一个 s 且是一次幂，属 Ⅰ 型，斜坡输入用静态速度误差系数 Kv
- 关键一步：Kv=lim(s→0) sG(s)，分母两个惯性环节在 s→0 时都趋于 1
- 关键一步：再按 ess=v₀/Kv 代入斜坡幅度 10
- 关键一步：判稳要在用终值定理之前做，这是这类题最容易漏的一步
- 中间结果：ess = v₀/Kv，把本题斜坡幅度与静态速度误差系数代进去即可
- 中间结果：代入前先判稳：本题 K=10 时劳斯表变号，算出的值实际无意义（见卡点）
- 卡点：K=10 时劳斯首列出现变号，闭环不稳定（K 需更小才稳定）
- 卡点：严格说此时稳态误差无意义，填空值只是按公式算得
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过求单位负反馈系统在斜坡输入下的稳态误差
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式