上海大学 836 自动控制理论（含现控） 2022 年真题思维导图
211 院校共 9 题
难度：中等 九道大题：状态空间四题（能控能观概念、并联分解约当标准型、状态转移矩阵与响应、能控标准型与极点配置）、梅森公式、离散稳定性、奈氏判据、根轨迹、串联滞后校正各一题。
1一、能控性与能观性概念#
思路
- 纯概念题，要求用状态可控与状态可观测的语言说明两个定义及其区别
本卷实例
- 关键一步：能控性：存在容许控制，使任意初始状态在有限时间内转移到指定终点
- 关键一步：能观性：由有限时间内的输出能唯一确定系统的初始状态
- 中间结果：能控性看输入对状态的支配能力，能观性看输出对初始状态的反映能力
- 卡点：把能控性说成能改变输出；个别教材区分能达性，需说明二者等价的条件
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过简述系统能控性与能观性的概念
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
2二、并联分解求约当标准型#
思路
- 传递函数 (3s²+4s−2)/(s−3)³，三重极点 s=3；用部分分式展开成并联形式再写约当标准型
本卷实例
- 关键一步：先按重极点 (s−3)³ 做部分分式展开，求三个待定系数
- 关键一步：重根按 C1/(s−3)³+C2/(s−3)²+C3/(s−3) 排列，对应一个三阶约当块
- 关键一步：由展开式直接写出 A、B、C
- 中间结果：三重极点对应一个 3×3 约当块，对角线上一排为 1
- 中间结果：待定系数按从高次到低次成为输出矩阵元素
- 卡点：重根部分分式求导公式漏阶乘；约当块中 1 写到对角线下方
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过由传递函数用并联分解写出约当标准型状态空间表达式
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
3三、状态转移矩阵与状态响应#
思路
- A=[[0,1],[−6,−5]]、b=[1,0]ᵀ、x(0)=[−1,0]ᵀ、u=−2·1(t)；先用 (sI−A)⁻¹ 反变换求 Φ(t)，再用卷积公式求全解
本卷考法
- 用拉普拉斯反变换求状态转移矩阵 Φ(t)
- 求给定输入与初值下的状态响应 x(t)
本卷实例
- 关键一步：先求 (sI−A)⁻¹ 并做部分分式，逐项查表反变换得 Φ(t)
- 关键一步：全解 x(t)=Φ(t)x(0)+∫Φ(t−τ)bu(τ)dτ，两部分都要算
- 中间结果：A 的特征值为 −2、−3，Φ(t) 由 e^{−2t}、e^{−3t} 两种模态组成
- 卡点：卷积积分变量代换写错；忘记把初值代入零输入分量
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过用拉普拉斯反变换求状态转移矩阵 Φ(t)
- 本卷考过求给定输入与初值下的状态响应 x(t)
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
4四、能控标准型、状态反馈与全维观测器#
思路
- 开环 4/[s(s+2)(s+3)]：先写能控标准型，再配极点 −1、−2±j，最后把观测器极点配成三重 −3
本卷实例
- 关键一步：把 G(s) 展开成真分式并读出分母系数，按能控标准型友矩阵直接写 A、b、c
- 中间结果：能控标准型 A 的末行取分母系数相反数，b=[0,0,1]ᵀ
- 卡点：分子有常数项时直接传递项处理错；友矩阵系数符号写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过由开环传递函数写出能控标准型状态空间表达式
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
本卷考法
- 设计状态反馈增益阵 K 使闭环极点为 −1、−2±j
本卷实例
- 关键一步：在能控标准型下设 K=[k1 k2 k3]，写出 det(λI−A+bK)
- 关键一步：把期望特征式 (λ+1)(λ²+4λ+5) 展开后与它逐项比对求 K
- 中间结果：能控标准型下闭环特征式系数与 K 分量一一对应
- 卡点：未先确认能控就配极点；系数比对时符号写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过设计状态反馈增益阵 K 使闭环极点为 −1、−2±j
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
本卷实例
- 关键一步：先算能观性矩阵确认能观，再设 L=[l1 l2 l3]ᵀ 写出 det(λI−A+LC)
- 关键一步：把期望特征式 (λ+3)³ 展开后逐项比对求 L
- 中间结果：观测器增益只通过 A−LC 改变误差动态，与输入矩阵无关
- 卡点：把观测器增益 L 与状态反馈增益 K 的矩阵形式混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过设计全维观测器使其极点为三重 −3
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
5五、梅森公式求传递函数#
思路
- 由信号流图求 C/R：先列四个独立回路并找两两不接触回路，再列三条前向通道及其余子式
本卷实例
- 关键一步：先列全部独立回路并找出两两互不接触的组合
- 关键一步：再列每条前向通路 P_i，余子式需剔除与该通路接触的回路
- 关键一步：按 Δ=1−ΣL+ΣLL−… 与 C/R=ΣP_iΔ_i/Δ 组合
- 中间结果：存在一对互不接触回路，Δ 中要加上它们的乘积项
- 卡点：不接触回路找漏或重复；余子式未剔除接触回路
- 卡点：信号流图未读图，回路数与支路增益需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过由信号流图用梅森增益公式求闭环传递函数
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
6六、离散系统稳定性与 w 变换#
思路
- 已知闭环脉冲传函，用 w=(z+1)/(z−1) 变换后套劳斯判据求稳定 K 范围
本卷考法
- 用 w 变换把离散特征方程化为 s 域形式，再用劳斯判据求稳定 K 范围
本卷实例
- 关键一步：先写出闭环特征方程 D(z)=0，再把 z=(w+1)/(w−1) 代入
- 关键一步：整理出关于 w 的多项式，列劳斯表并令首列各项同号
- 关键一步：解出三个不等式取交集得稳定区间
- 中间结果：w 变换把单位圆内映射到 w 左半平面，稳定条件变为首列全正
- 卡点：w 变换公式记反；只列部分首列不等式，漏掉某个约束
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
- 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
- w 变换把单位圆内映射到左半平面
- 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
- 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
- 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
- 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
- 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
- 本卷考过用 w 变换把离散特征方程化为 s 域形式，再用劳斯判据求稳定 K 范围
- 判断离散系统是否稳定
- 求使系统稳定的采样周期或增益范围
- 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
- 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
- w 变换公式记错导致映射关系颠倒
7七、奈奎斯特判据#
思路
- 开环 4(s+3)/[s(s−1)]，含一个右半平面极点 P=1；画奈氏曲线并由 Z=P−2N 判稳
本卷考法
- 画 G(jω) 奈奎斯特曲线并用奈氏判据判断系统稳定性
本卷实例
- 关键一步：先数开环右半平面极点数 P；含积分环节时在低频端补画无穷大圆弧
- 关键一步：写出 P(ω)、Q(ω) 或 |G|、∠G，求曲线与负实轴交点
- 关键一步：由包围 (−1,j0) 的正负穿越次数算 N，用 Z=P−2N 判断
- 中间结果：曲线在 ω→0⁺ 与 ω→∞ 的走向及穿越负实轴的位置是判稳关键
- 卡点：积分环节未补画圆弧；包围圈数正负号搞反
- 卡点：奈氏曲线需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
- P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
- N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
- 逆时针包围为正，顺时针为负
步骤
- 先求开环极点，数出右半平面个数 P
- 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
- 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
- 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
- 本卷考过画 G(jω) 奈奎斯特曲线并用奈氏判据判断系统稳定性
- 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
- 求使闭环稳定的开环增益范围
- 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
- 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
- 把包围圈数的正负号定义搞反
- 没有先数开环右半平面极点数 P
8八、根轨迹与临界增益#
思路
- 开环 K/[s(0.01s+1)(0.02s+1)]，三个极点、无零点；绘制根轨迹并求虚轴交点对应的临界 K
本卷实例
- 关键一步：先化成 K*/[s(s+100)(s+50)] 形式读出极点与 K 的换算关系
- 关键一步：由 n−m=3 算渐近线条数、夹角及实轴交点，并判实轴根轨迹段
- 中间结果：三条分支都趋于无穷远；渐近线与实轴交点由三极点平均值给出
- 卡点：把 K* 与原题 K 的倍率关系漏掉，临界值就会差一个系数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过按根轨迹法则写出渐近线、实轴段等绘制步骤
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
本卷实例
- 关键一步：令 s=jω 代入闭环特征式，分别令实部、虚部为零
- 关键一步：先由虚部方程解出非零 ω，再代回实部方程求临界 K
- 关键一步：最后按 K* 与 K 的换算关系还原
- 中间结果：虚轴交点关于原点对称，ω 取正负成对出现
- 卡点：只代一个 ω；得到 K* 后忘记换算回原题定义的 K
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及对应的临界 K
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
9九、串联滞后校正设计#
思路
- 开环 K/[s(0.5s+1)(0.1s+1)]，要求 Kv=10、相角裕度大于 50°，设计滞后网络并校验
本卷考法
- 设计串联滞后校正装置使系统满足 Kv 与相角裕度要求
本卷实例
- 关键一步：先由 Kv 要求定开环增益 K，再算校正前截止频率与相角裕度
- 关键一步：按相角裕度要求加余量确定校正后截止频率，用 −20lg b 等于该处幅值求 b
- 关键一步：由 1/(bT) 取校正后截止频率的十分之一左右定 T
- 中间结果：校正前相角裕度很低甚至为零，须靠滞后网络把截止频率左移
- 卡点：滞后网络两转折频率顺序写反；转折频率取高使相位滞后抵消增益改善
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
- 会使截止频率降低，响应变慢
- 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
- 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
- 确定满足相角裕度要求的新截止频率
- 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
- 由衰减量求滞后网络的参数 β
- 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数
通用考法
- 本卷考过设计串联滞后校正装置使系统满足 Kv 与相角裕度要求
- 设计串联滞后校正装置
- 比较超前与滞后校正的效果差异
- 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
- 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
- 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
本卷实例
- 关键一步：在 0 dB 处读截止频率，代入相频算 γ=180°+∠G(jωc)
- 关键一步：把 Gc 与 G 相乘得校正后开环，按同一流程复核 γ
- 中间结果：校正后截止频率明显下移，相角裕度抬到要求值以上
- 卡点：ωc 与 ωg 混用；只看相角裕度不校验 Kv 是否仍满足
- 卡点：校正前后 Bode 图需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过求校正前后系统的截止频率与相角裕度并检验
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
