北京林业大学 855 控制原理 2020 年真题思维导图

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难度：中等　宝典收录的 2020 卷，正文印码 855、科目「自动控制理论」；十道大题逐题印个性化分值，覆盖梅森公式、稳态误差、二阶动态指标、等幅振荡定参、闭环极点判断、根轨迹、奈氏判据、PI 校正与 Bode 反求等主线。

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一一、信号流图求传递函数15 分#

思路

• 由结构图的信号流图数清四条回路与两两不接触回路，用梅森增益公式写出 C(s)/R(s)。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由信号流图用梅森公式求闭环传函

本卷实例

• 关键一步：先数独立回路并找两两不接触回路
• 中间结果：特征式含四条回路与一对不接触回路
• 卡点：比较点极性须回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由信号流图用梅森公式求闭环传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

二二、典型输入下的稳态误差10 分#

思路

• 由闭环传函求误差传函，按输入的阶跃、斜坡、抛物线三个分量分别算稳态误差再叠加。

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 判断系统型别并求各静态误差系数

本卷实例

• 关键一步：先由开环传函数积分环节个数定型别
• 中间结果：型别决定各分量稳态误差是否为零
• 卡点：须先判稳再用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过判断系统型别并求各静态误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求组合多项式输入下的总稳态误差

本卷实例

• 关键一步：把输入拆成阶跃、斜坡、抛物线三项分别求
• 中间结果：总误差为三个分量稳态误差之和
• 卡点：抛物线分量的误差可能发散

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求组合多项式输入下的总稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

三三、由微分方程求响应与动态指标10 分#

思路

• 由微分方程写传递函数，化为二阶标准形式求阻尼比与自然频率，再求脉冲、阶跃响应与各项动态指标。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由微分方程化为二阶标准形式并读阻尼比

本卷实例

• 关键一步：把传递函数分母首项系数归一化后对比标准式
• 中间结果：特征多项式对应无阻尼自然频率与阻尼比
• 卡点：别把开环增益当成闭环标准式系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由微分方程化为二阶标准形式并读阻尼比
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 求超调量、峰值时间与调整时间

本卷实例

• 关键一步：由阻尼比与自然频率代入二阶指标公式
• 中间结果：超调量只由阻尼比决定
• 卡点：调整时间取百分之五还是二误差带须看题意

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过求超调量、峰值时间与调整时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

四四、等幅振荡确定系统参数15 分#

思路

• 由阶跃响应等幅振荡知闭环有一对纯虚极点，列劳斯表令临界行首元为零求参数。

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求临界振荡条件下的参数

本卷实例

• 关键一步：先写闭环特征方程并列劳斯表
• 中间结果：临界行首元为零对应一对纯虚根
• 卡点：参数须代回特征方程复核

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求临界振荡条件下的参数
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由虚轴交点频率确定待定参数

本卷实例

• 关键一步：把纯虚根代回特征方程分离实部与虚部
• 中间结果：实部虚部两式联立解出两个参数
• 卡点：别漏掉非零这一约束条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由虚轴交点频率确定待定参数
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

五五、闭环极点判断与给定阻尼比10 分#

思路

• 把候选点代入相角条件或特征方程判断是否为闭环极点；再由给定阻尼比用极点关系式求闭环极点。

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 用相角条件判断给定点是否为闭环极点

本卷实例

• 关键一步：把候选点代入开环相角条件检验
• 中间结果：或直接代入闭环特征方程验证
• 卡点：闭环极点须同时满足幅值与相角条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过用相角条件判断给定点是否为闭环极点
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由给定阻尼比确定闭环极点位置

本卷实例

• 关键一步：用二阶标准式的极点关系列方程
• 中间结果：比值关系给出自然频率进而定增益
• 卡点：开环增益与自然频率的关系须对照题给传函

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由给定阻尼比确定闭环极点位置
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

六六、根轨迹绘制与稳定K*范围15 分#

思路

• 求开环极点、渐近线与分离点，画 K* 从零到无穷的根轨迹；再由与虚轴交点定稳定 K* 范围。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制 K* 从零到无穷的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先标开环极点并求实轴根轨迹段
• 中间结果：渐近线交点在实轴负半轴
• 卡点：分离点取舍须核对根轨迹图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制 K* 从零到无穷的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴交点确定稳定 K* 范围

本卷实例

• 关键一步：令劳斯表临界行首元为零求 K* 临界值
• 中间结果：代回特征方程解出交点频率
• 卡点：稳定区间端点是否包含须按题意

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴交点确定稳定 K* 范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

七七、奈氏判据确定稳定K范围15 分#

思路

• 求开环幅相曲线的起点、终点与负实轴交点，按奈氏判据列包围条件确定使闭环稳定的 K 范围。

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环幅相曲线用奈氏判据求稳定 K 范围

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数并求曲线与负实轴交点
• 中间结果：负实轴交点坐标随 K 线性缩放
• 卡点：曲线随频率的走向须核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环幅相曲线用奈氏判据求稳定 K 范围
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

八八、PI校正与闭环极点配置10 分#

思路

• 写出含 PI 校正的开环传函与闭环特征方程，把期望复数极点代入，比较系数求校正环节参数。

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 设计 PI 校正环节使闭环极点落在给定位

本卷实例

• 关键一步：先写含 PI 的开环传函再列闭环特征方程
• 中间结果：特征方程系数含待求比例与积分增益
• 卡点：两个待求参数须由实部虚部两式联立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过设计 PI 校正环节使闭环极点落在给定位
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由期望闭环极点反求特征方程系数

本卷实例

• 关键一步：由一对共轭极点写出期望特征多项式
• 中间结果：与闭环特征方程逐项比较系数
• 卡点：闭环极点须落在左半平面才稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由期望闭环极点反求特征方程系数
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

九九、Bode图与稳定裕度判稳10 分#

思路

• 按低频段斜率与各转折频率画对数幅频渐近线，求相角裕度与幅值裕度并据此判断稳定性。

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制开环对数渐近幅频特性

本卷实例

• 关键一步：按低频段斜率与各转折频率逐段改斜率
• 中间结果：各转折频率处斜率依次累加
• 卡点：低频段起始高度须按型别折算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制开环对数渐近幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求相角裕度与幅值裕度并判稳

本卷实例

• 关键一步：令对数幅频为零求截止频率处相角裕度
• 中间结果：再由相频穿越负一百八十度处求幅值裕度
• 卡点：幅值裕度小于一说明闭环不稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求相角裕度与幅值裕度并判稳
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

十十、由对数幅频渐近特性反求传函15 分#

思路

• 由低频段延长线定增益与积分环节，由各转折频率斜率变化定一阶与二阶环节，写出最小相位传函。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由对数幅频渐近特性反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率与高度定型别与增益
• 中间结果：各转折频率对应一阶或二阶环节时间常数
• 卡点：谐振峰值高度须回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由对数幅频渐近特性反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式