1一、储罐液位对象的建模与线性化#
思路
- 由质量守恒列非线性方程，在平衡点线性化得增量方程与传递函数，再算指定频率处的幅值与相位
非线性模型的线性化
建模与机电系统
本卷考法
- 建立以入口流量为输入、液位为输出的非线性微分方程并在平衡点线性化
本卷实例
- 关键一步：列质量守恒时把液体当作不可压缩介质：进流量减出流量等于罐内质量的变化率
- 关键一步：出口流量＝出口流速×截面积×密度
- 关键一步：出口流速用托里拆利关系与液位高度挂钩，这是非线性来源
- 关键一步：在平衡点处把非线性项按一阶泰勒展开，用平衡关系把常数项消掉，剩下的就是增量方程
- 中间结果：非线性方程：罐内质量的变化率等于入口与出口质量流量之差
- 中间结果：线性化时间常数由出口流量对液位的偏导除以截面积决定
- 中间结果：罐越细高、出口越大，时间常数越小
- 卡点：漏掉出口流量对液位的偏导这一项，把对象当成纯积分环节；或线性化时没在平衡点消常数项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
- 线性化模型只在小偏差范围内有效
- 必须先求出平衡工作点
步骤
- 由静态方程求平衡工作点
- 在工作点处求偏导得到增量系数
- 写出以增量表示的线性化方程
通用考法
- 本卷考过建立以入口流量为输入、液位为输出的非线性微分方程并在平衡点线性化
- 对非线性微分方程在平衡点处线性化
- 写出小偏差线性化模型的传递函数
常见易错
- 未先求平衡点就直接展开
- 把增量符号去掉后与原始变量混用
公式
被控对象的动态特性
过程控制与检测仪表
本卷考法
- 写出液位对象的传递函数并说明是自衡还是非自衡
本卷实例
- 关键一步：线性化后的增量方程是一阶常微分方程，写成标准形式即可直接读出一阶环节的增益与时间常数
- 关键一步：增益量纲是液位除以质量流量，不要漏写单位
- 关键一步：平衡点的取值要先由稳态关系算出出口流速，才能代进线性化系数
- 中间结果：由稳态数据自检：出口流速＝入口质量流量/(密度×出口截面积)
- 中间结果：该值应与托里拆利公式给出的结果吻合
- 卡点：液位对象是自衡对象，出口流量随液位升高而增大，会自行重新平衡，不能按非自衡对象写
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 用放大系数 K、时间常数 T、纯滞后 τ 三个参数描述对象
- 自衡对象受扰动后能自行重新平衡，非自衡对象不能
- 多容对象由多个一阶环节串联而成，容量滞后大
- 纯滞后只使响应推迟，不改变最终稳态值
步骤
- 由阶跃响应曲线读出放大系数、时间常数与纯滞后时间
- 判断对象是否自衡、是否多容
- 写出对象的传递函数
- 用终值定理求稳态值
通用考法
- 本卷考过写出液位对象的传递函数并说明是自衡还是非自衡
- 由响应曲线写出对象传递函数
- 求阶跃输入下的稳态值并说明与哪些因素有关
- 判断对象是否具有纯滞后
常见易错
- 把纯滞后当成时间常数一起处理
- 放大系数的量纲与单位漏写
公式
频率特性的物理意义与求法
频域分析
本卷考法
- 计算指定频率下频率特性的幅值与相位
本卷实例
- 关键一步：一阶环节的幅频是直流增益除以根号下「一加转折频率比的平方」，相频是负的反正切
- 关键一步：先算时间常数与频率的乘积 τω
- 关键一步：若远小于 1，幅值近似为直流增益、相位接近零
- 中间结果：本题时间常数约 0.045 s、转速频率 0.022 rad/s
- 中间结果：两者乘积约千分之一，幅值近似直流增益、相位近零
- 卡点：把频率特性的幅值当成增益直接填，忘记它是频率的函数；或角度与弧度混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过计算指定频率下频率特性的幅值与相位
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式